Многооборотная инжекция в магнитное кольцо с переменными градиентами.

Если выбирать бетатронную частоту близкой к

суммовому резонансу, то небольшие возмущения поля приведут к большим возмущениям орбиты при условии, что орбитальная частота близка к кратной от бетатронной частоты, как показано на рис, 4.18. Частицы, вышедшие в вакуумную камеру из центра инфлектора, будут совершать бетатронные колебания около равновесной орбиты с амплитудой, равной расстоянию от центра инфлектора до равновесной орбиты.

Рис. 4.17. Описание инжекции восьми оборотов в синхротрон в фазовом пространстве (Тенг, 1956 г.).

При таком рассмотрении предполагается, что фазовая площадь равна нулю в каждой фазовой плоскости. После определенного числа оборотов частицы достигнут максимального отклонения от равновесной орбиты в окрестности инфлектора. За это время равновесная орбита должна быть смещена в такой степени, чтобы частицы проходили мимо инфлектора. Это может быть сделано либо уменьшением возмущения, либо смещением бетатронной частоты от частоты суммового резонанса.

Разовьем эти идеи количественно, используя теорию вынужденных колебаний, рассмотренную в § 4.1. Аппроксимируем уравнение вынужденных колебаний его гладким приближением

где в качестве выбрано возмущение поля в одной секции магнита

где число секций с переменными градиентами. Уже найдено решение в Фурье-представлении

где основной вклад в сумму дает член с

Рис. 4.18. Равновесная орбита в случае многооборотной инжекции в синхротрон со знакопеременными градиентами.

Найдена также замкнутая форма решения

Как видно, носит характер колебаний с бетатронной частотой, модулированных с частотой обращения. Фазовый сдвиг происходит внутри области возмущения. Если близка к то фазовый сдвиг в этой области мал и амплитуда колебаний возмущенной орбиты большая. Если не близка к то фазовый сдвиг должен быть большим, но так как маленькие возмущения поля приводят к маленькому возмущению орбиты, амплитуда колебаний орбиты, следовательно, мала. Однако нельзя сделать возмущение орбиты произвольно большим. Неизбежные искажения магнитного поля ведут к дополнительным колебаниям равновесной орбиты, фаза которых неконтролируема. Амплитуду этих колебаний нужно поддерживать небольшой по сравнению с желаемой.

Проиллюстрируем эти эффекты на примере электронов с энергией в поле Выберем показатель поля

таким, что Учитывая только наиболее существенный член в выражении для у, из (4.161) находим, что

Подставляя численные значения, находим, что

Если поле изменилось по направлению в одной секции, то а возмущение поля действует сходно с дельта-функцией, в результате см. Этот результат можно сравнить с расчетом возмущения орбиты, возникающего из-за расстройки магнита [61:

где среднеквадратичная расстройка. Для наших параметров имеем

Для это дает отклонение орбиты 0,2 см. Можно добиться желаемого возмущения, если вводить дополнительные секции с противоположным по направлению магнитным полем в соответствующих местах по азимуту.

Предположим теперь, что амплитуды колебаний, обусловленных фазовым пространством эмиттанса, малы по сравнению с шириной инфлектора, и подсчитаем число оборотов, которое можно инжектировать. Для случая фазовый сдвиг за один оборот составляет Если к тому же инфлектор расположен над медианной плоскостью и то частицы пройдут мимо инфлектора на первом обороте из-за колебаний в -направлении и дадут за два оборота полный фазовый сдвиг Если максимальная амплитуда бетатронных колебаний составляет , что соответствует расстоянию от центра инфлектора до равновесной орбиты, то расстояние от равновесной орбиты после двух оборотов составит Частицы тогда будут лежать на расстоянии от положения инжекции, так что при условии, что полуширина инфлектора хмакс, частицы на втором обороте не заденут инфлектора. Через 10 оборотов частицы будут иметь максимальную амплитуду бетатронных колебаний около инфлектора, так что равновесная орбита должна быть смещена на в течение этих 10 оборотов..

В описанной выше процедуре, где частица, прежде чем вернуться к положению равновесия, совершает достаточное число оборотов, величину поперечного конфигурационного пространства, равную ширине инфлектора, уже нельзя использовать для дальнейшей инжекции частиц.

Однако при диаметре пучка, заполнившем апертуру инфлектора, некоторые частицы неизбежно будут потеряны в конце первого

оборота, если равновесная орбита не сдвинута на ширину инфлектора. Знание точной фазы бетатронных колебаний позволяет нам использовать то свойство, что бетатронная и орбитальная частоты не являются целыми кратными числами, что вместе с предположением о конечной длине инфлектора дает нам возможность инжектировать несколько оборотов на каждую половину ширины инфлектора. Из приведенного выше анализа видно, какие большие преимущества мы будем иметь, если уменьшим эмиттанс фазового пространства до очень малых значений при определенном токе инжекции.