есть гамильтониан, в нулевом приближении
Решение нулевого порядка описывает обычный гармонический осциллятор.
где, как и раньше,
Введем угловую переменную
Из уравнений (2.86) находим
В новых переменных, заданных соотношениями (2.84) и (2.87), имеем
Теперь, чтобы перейти к новым переменным, не зависящим от угла, используем преобразования (для каждого порядка) (2.74) — (2.77). Для этого необходимо сначала получить выражения для производных
. Продифференцировав гамильтониан (2.85) и воспользовавшись уравнениями (2.83), получим
где
производная по
Из соотношений (2.85) и (2.87) получаем следующие выражения для
в переменных
:
Подставляя найденное выражение для
в соотношение для
находим
здесь использовано соотношение
Исходя из определений предыдущего раздела, имеем
Аналогично получаем производную от угловой переменной, дифференцируя (2.85) и используя соотношения (2.83):
Подставляя значение
полученное из (2.87), получаем
Полученные уравнения (2.89) и (2.90) можно использовать для определения новых переменных. Полагая
и
определяются непосредственно из (2.74) и (2.76)], находим
и для первого порядка
что
Подставляя
в выражение для
и интегрируя, получаем
Соотношения (2.91) и (2.92) определяют так называемые хорошие переменные, так как
не зависит от
[см. уравнение (2.70а)]. Аналогично можно построить преобразование, которое приводит к уравнению для угловой переменной (2.706).
Теперь выразим интеграл движения через эти новые переменные:
где
функции
. Для первого порядка по
достаточно выполнить интегрирование по 0, тем самым упрощая преобразования. Подставляя значения
из (2.89) и дифференцируя
имеем
Подставляя
из (2.92), получаем
Выполняя интегрирование и учитывая, что второй член в результате интегрирования дает нуль, имеем для адиабатического интеграла
В области, в которой параметры не меняются,
и мы получаем обычный адиабатический результат
Теперь мы видим, что этот результат справедлив только для нулевого порядка в области с параметрами, изменяющимися со временем. Для первого порядка адиабатичность
эквивалентна изменению
полученному прямым вычислением по формуле (2.48). Мы выразили
через хорошие переменные, в результате чего получили величину, асимптотически постоянную для всех порядков по
даже в случае, когда параметры меняются со временем. Покажем теперь прямым вычислением, что
действительно равно нулю. Дифференцируя (2.94) и подставляя
определяемое формулой (2.91), получаем равенство
справедливое для первого порядка по
При этом мы использовали соотношение
которое верно, если есть только один меняющийся параметр.
В работе [19] в качестве исходных переменных в преобразовании использовано
а не
и получен гамильтониан в виде
где
Преобразование к хорошим переменным, найденное другим способом, дает непосредственно. Однако (2.96) можно получить не обязательно только как разложение по
Так, можно требовать почленного разложения для промежуточных переменных и хороших переменных. Ниже мы рассмотрим методом [19] задачу, которая покажет пределы применимости адиабатической теории.