§ 2.2. Изменение интеграла действия для почти адиабатических систем
Введение.
Кулсруд [14] исследовал с помощью асимптотического метода гармонический осциллятор, частота которого зависит от времени. Он показал, что если производные со высшего порядка не имеют разрывов, то интеграл действия J - асимптотическая постоянная во всех порядках по параметру разложения. Это асимптотическое доказательство распространено на случай более общих осцилляторных систем с одной степенью свободы [10, 15, 28]. Затем Крускал [13] с помощью асимптотического метода исследовал почти периодические относительно одной степени свободы системы со многими степенями свободы. Метод Крускала рассмотрен в § 2.4. Асимптотические доказательства адиабатической инвариантности во всех порядках Чандрасекар [6] подверг критике, так как они не дают фактического изменения действия при изменении гамильтониана с конечной скоростью. Чандрасекар использовал метод итераций, аналогичный методу Хертвика и Шлютера, для того, чтобы вычислить увеличение магнитного момента вращающейся частицы, что эквивалентно вычислению увеличения интеграла действия для гармонического осциллятора. С помощью несколько отличного метода итераций [29] вычислено увеличение действия для гармонического осциллятора. Результат эквивалентен результату Чандрасекара. Кроме того, Нортроп [23, 24]. указал, что обычные разложения магнитного поля, используемые для определения магнитного момента, — асимптотические, поэтому для изменения магнитного момента может быть использована асимптотическая теория. Затем Бакус, Ленард и Кулсруд [1] усложнили задачу, показав, что для изменяющегося со временем гармонического осциллятора с особым изменением которое допускает аналитическое решение, метод итераций не дает корректного асимптотического изменения действия. Наконец, Паркер [25] показал, что обычно итерационный процесс можно построить так, чтобы он давал сходящееся решение; таким образом, точное решение может быть аппроксимировано с любой степенью точности.
Полемика о справедливости асимптотических методов, по-видимому, академическая, ибо на вопрос, будет ли рост интеграла действия по мере увеличения гамильтониана ограниченным, оба метода дают утвердительный ответ. Также возможно ввести в асимптотический метод предположение, которое позволит вычислить увеличение интеграла действия для вариаций, изменяющихся с конечной скоростью. Если например, в первой или более высоких производных частоты гармонического осциллятора имеются разрывы, то при условии, что асимптотический ряд справедлив вплоть до стольких членов, для которых существуют непрерывные производные более высокого порядка, метод Кулсруда можно использовать для вычисления изменения J. В этом параграфе мы получим изменение интеграла действия обоими методами, если такие разрывы
существуют, и покажем, что по крайней мере для производных первого порядка они дают одинаковые результаты. Однако ни одна из теорий не дает ответа на важный вопрос о том, когда адиабатическая теория перестает быть справедливой и приводит к неограниченному росту интеграла действия. В гл. 3 показано, что резкие изменения гамильтониана могут привести к неограниченному росту интеграла действия. Аналогично для многопериодных систем возникают такие ситуации, в которых адиабатическая теория неверна. Последнее, однако, Может быть связано с резонансами между колебаниями с быстрыми и медленными периодами. Эта проблема обсуждена в § 2.4 и в гл. 4 и 5.
