Метод прямого вычисления.

Теперь разработаем итерационный метод получения приращения интеграла действия при вариации параметров. Мы предполагаем, что значения, полученные этим методом, будут отличаться от значений, вычисленных асимптотическим методом в момент времени, когда траектория частицы в фазовом пространстве — замкнутая орбита.

Для данного случая, чтобы избежать трудностей, связанных с отсутствием замкнутых фазовых орбит, определим действие посредством канонического преобразования от переменных к переменным чтобы они приводили к исходным переменным в случае замкнутых фазовых орбит. Для исследования гармонического осциллятора наиболее удобна при преобразовании q-пространства в -пространство производящая функция так как она имеет простой вид. Введем, как в § 2.1, параметр X, который представляет собой медленно изменяющуюся функцию времени. Новый гамильтониан связан со старым соотношением (1.30)

Поскольку зависит от времени только через X, то

Здесь точка, как и прежде, означает полную производную по времени. Как и в соотношениях (2.16), переменные связаны функцией

Это позволяет выразить через переменные угол — действие

Уравнения (2.35) и (2.36) являются общими, не считая того ограничения, что зависит от времени через Кроме нескольких частных случаев, один из которых рассмотрен в следующем параграфе, полное решение движения с изменяющимся X получить нельзя. Однако если X — медленно меняющийся параметр, можно получить

последовательные (лучшие) приближения к решению итерационным методом. Для нулевого порядка поэтому из (2.36) имеем

Следовательно, из (2.35)

где просто константа. После интегрирования имеем

Это — решение для гамильтониана, который является циклическим по пространственной координате следовательно, функцией только постоянного обобщенного момента

Используя метод [29] для гармонического осциллятора с изменяющейся частотой со, перейдем к анализу первого порядка для одномерного гармонического осциллятора общего типа, изменяющегося со временем. Гамильтониан такого осциллятора уже найден:

где вообще говоря, функции времени. Производящей функцией для канонического преобразования к переменным угол — действие является функция

соответствующие импульсы согласно (2.34)

где, как прежде, Беря частную производную по времени, получаем

Используя соотношения (2.37), (2.39), (2.40) и тождество находим из (2.39) новый гамильтониан

где

Здесь - медленно изменяющийся параметр к из выражения (2.33). Однако следует помнить, что может представлять два независимо меняющихся параметра, как видно из выражения (2.40). Из (2.35) имеем канонические уравнения для и

Используем теперь особое, вообще говоря неверное, предположение, что уравнение (2.44) не зависит от Решая итерационным методом, получаем для нулевого порядка 6 (пренебрегаем

и для первого порядка по

Подставим значение (2.45) в уравнение (2.43) и, разложив в ряд Тейлора в окрестности получим для первого порядка по

После интегрирования имеем

Член, стоящий справа в квадратных скобках, является постоянным относительно второго интегрирования. Таким образом, потенцируя обе стороны равенства, имеем

Если разложим экспоненту по и вычтем из полученного результата единицу, то для второго порядка приращения будем иметь

Первый член — синусоидальный и зависит от начальной и конечной фаз осциллятора. Его значение станет более очевидным, если перейти к переменной чтобы получить первый порядок приращения

Последнее соотношение связано с асимптотическим резул ьтатом (2.27), так как, если при есть резкий скачок функции и если для всех после то, вычисляя в некоторый момент интегрированием (2.36), имеем соотношение

которое аналогично асимптотическому результату для первого порядка, но зависит и от начального разрыва и от времени наблюдения. Если меняется непрерывно и равно нулю как при так и при то среднее значение (по всем фазам), соответствующее произвольным конечным точкам, имеет какой-либо смысл. В этом случае среднее значение линейного члена в (2.46) равно нулю, и остаются только квадратичные члены. Для аналогичного выражения в работе [12] показано, что при изменении переменной от до имеем

т. е. стремится к нулю быстрее любой степени

для всех Итак, в области определения асимптотического решения постоянно для всех приближений.

Как указано во введении к этому параграфу, Бакус и др. [1] брали приращение частоты (специального вида) гармонического осциллятора, для которого точное решение может быть найдено. Вводя медленно меняющийся параметр а в пределе они нашли, используя метод итераций, тогда как точное решение дает

Разница в коэффициентах указывает на то, что итерационный метод не дает асимптотически правильных решений.