§ 3.5. Распределение фазовой плотности внутри пучка

Введение.

В предыдущих параграфах основное внимание сконцентрировано на анализе поведения ограниченной области фазового пространства с рассмотрением движения ее границ. Однако в § 3.4 "мы встретились с нелинейным преобразованием, в котором выбор оптимальных параметров преобразования зависел от распределения плотности. Другая ситуация, когда распределение плотности играет важную роль, возникает при определении предельной плотности тока в пучке. Для безаберрационной системы линз плотность тока в пучке ограничена как начальным распределением по скоростям, так и собственным пространственным зарядом пучка. Параметры линз, однако, можно выбрать так, что основным ограничивающим фактором будет только распределение по скоростям. В этом случае Ленгмюр, [13], используя геометрическое доказательство, а также Пирс [20], используя теорему Лиувилля, получили выражения для предельной плотности тока пучка. Однако в методе Пирса при вычислении плотности тока в любой плоскости, отличной от плоскости изображения, возникают некоторые трудности, для преодоления которых Лихтенберг [17] ввел распределение плотности в метод эллипсов и получил результаты, аналогичные результатам Пирса.

Действие пространственного заряда теоретически можно включить в преобразованную форму теоремы Лиувилля для предельного случая, когда несущественны корреляции между частицами (уравнение Больцмана без столкновений), однако уравнения движения обычно решить нельзя. Трудность в том, что силы не являются больше независимыми от движения частиц. Можно ввести различные аппроксимации, чтобы включить действие пространственного заряда, например, усреднение по распределению плотности в фазовом пространстве. Важную роль в определении динамики пучка частиц может играть функция распределения в фазовом пространстве.

Предельная плотность тока. Учет тепловых скоростей.

Для определения предельной плотности тока в пучке применим методику исследования движения ограниченной фазовой площади. Сначала на основании теоремы Лиувилля получим теоретическое значение предельной плотности. Пусть на траектории частиц плотность фазового пространства постоянна. Предположим, что мы измеряем плотность в точке с потенциалом V относительно катода; из теоремы Лиувилля получаем, что

где - распределениеплотности тока на катоде (будем считать его максвелловским); нормированные скорость и потенциал:

Так как соотношение (3.85) удовлетворяется тождественно (в соответствии с теоремой Лиувилля). z-Компонента плотности тока представляет собой функцию распределения, умноженную на -компоненту скорости и проинтегрированную по пространству скоростей:

где Константа вычисляется из граничного условия, что на катоде Это даст

Предел Лиувилля для тока внутри некоторого угла можно теперь вычислить интегрированием по пространству скоростей, которое включает этот угол расходимости. Для одномерных линз интегрирование удобно производить в цилиндрических координатах. Обозначим

тогда элемент в нормированном пространстве скоростей равен и получаем предельное значение для плотности тока

после интегрирования,

где

Для вторым членом можно пренебречь, поэтому

Для аксиально-симметричной системы выражение для можно определить аналогично. Используя сферические координаты (переменные интегрирования элемент объема получим

после интегрирования

или

Выражения (3.88) и (3.90) получены на основании теоремы Лиувилля, следовательно, мы неявно предполагаем, что все частицы, содержащиеся внутри заданной фазовой площади, определяемой первоначальным током с катода, также будут содержаться внутри фазовой площади при потенциале при котором была измерена плотность тока.

Введем дополнительное ограничение на распределение, а именно; в расчет будем принимать только частицы, траектории которых лежат в угле расходимости 0. В этом случае основное предположение, на котором базируется теорема Лиувилля, нарушается и фактическая плотность становится ниже предела Лиувилля. В фазовом рассмотрении процесс уменьшения плотности тока становится непосредственно очевидным. Предельное значение угла расходимости соответствует предельному значению импульсной координаты фазового эллипса. Чем больше сжатие при фокусировке фазового эллипса по пространственной координате, тем больше разброс по импульсной координате и, следовательно, меньше доля частиц с траекториями внутри предельного угла расходимости. Для максвелловского распределения по скоростям практическое интегрирование может быть очень сложным. Так, Пирс для получения соотношения между действительным значением плотности тока и предельным значением Лиувилля брал действительное значение плотности тока в фокусе оптической системы. Проделав достаточно сложные вычисления, он получил следующие выражения для действительного значения плотности тока в плоскости изображения соответственно для одномерной и аксиально-симметричной линз:

Здесь для пучка с линейным увеличением для правильного эллипса Если весь ток катода достигает изображения, то плотность тока катода для одномерной и аксиально-симметричной линз равна соответственно:

Пусть действительное значение плотности тока равно тогда можно определить выход по интенсивности

и выход по току

поэтому, если значение известно, можно вычислить Оценив приближенно приведенные выше выражения Пирса, мы получим значение для одномерной и аксиально-симметричной линз. Тем самым мы построим зависимость от для каждой из этих линз. Однако прежде получим приближенные значения выражений Пирса, используя методы преобразования фазового эллипса, рассмотренные в этой главе. Будем полагать, что лучи параксиальны. Это означает, что: а) преобразования линейны и б) Это приближение позволяет преодолеть основное препятствие в трактовке Пирса (дело в том, что преобразование справедливо только для бесконечно малой области фазового пространства, а не для всей поверхности катода), кроме того, оно позволяет определить плотность тока в плоскости, отличной от плоскости изображения. Далее, используя теорию, рассмотренную в § 3.3 для преобразований эллипсов, можно определить параметры линзы, обеспечивающей заданное сжатие.

Найдем приближенное значение тока внутри половины некоторого угла в плоскости, в которой имеет место действие линзы (скажем, в плоскости взяв

Возьмем такую систему линз, чтобы она преобразовывала первоначально прямой эллипс на катоде в прямой эллипс в плоскости наблюдения, тогда, используя теорему Лиувилля, имеем для максимальной скорости внутри эллипса выражение

Из (3.95) и (3.96) получаем

Действительная плотность тока обратно пропорциональна увеличению

где плотность тока внутри аксептансного эллипса.

Теперь сравним значения выходов по току и интенсивности со значениями, полученными Пирсом. Соответственно для одномерной и аксиально-симметричной линз отношение средней плотности тока

внутри эллипса к полной средней плотности тока на катоде приближенно выражается как:

Выход по току можно вычислить через отношение плотности тока в эллипсе к плотности тока, полученной при интегрировании по всем поперечным скоростям. Подставляя (3.92) и (3.98) в (3.94), получаем выход по току

величину которого можно вычислить из (3.99) или (3.100) для любого значения . Соответствующий выход по интенсивности найдем, подставляя в (3.93) значение либо из (3.88), либо из (3.90), а значение из (3.98) и используя (3.97) для исключения Для одномерной и аксиально-симметричной линз имеем соответственно

Следовательно, задавая о макс, можно найти как так и и тем самым можно построить диаграмму (рис. 3.19 и 3.20) и сравнить эти результаты с данными Пирса.