§ 1.2. Интегралы движения

Канонические преобразования.

Кратко остановимся на понятиях гамильтоновой механики, которые нам будут необходимы при изучении динамики движения частиц [10]. Однако большая часть длинных доказательств не приводится. Если материал окажется для читателя незнакомым, советуем обращаться к Голдстейну. С помощью координатных преобразований можно получить различные эквивалентные формы уравнений движения. Одну из таких форм можно получить, вводя функцию Лагранжа

где пробегают все степени свободы; кинетическая энергия; потенциальная энергия; считаем, что связи не зависят от

времени. Уравнения движения в лагранжевой форме для каждой координаты имеют следующий вид:

где Q - силы, не вытекающие из потенциала (силы трения). Уравнения (1.20) могут быть также выведены из вариационного принципа или непосредственным сравнением с ньютоновскими законами движения. Если мы определим гамильтониан через

не определяя пока продифференцируем то получим

где выражение (1.20) подставлено в третью сумму с правой стороны. Если затем определить посредством выражения

то первая сумма с правой стороны тождественно обратится в нуль, и, приравняв коэффициенты при одинаковых дифференциалах, получим форму уравнений движения, содержащую только первые производные:

Здесь обобщенный импульс, который для случая, обсуждавшегося ранее, сводится к обычному импульсу. В последующих параграфах мы будем предполагать, что все силы имеют потенциал; в этом случае и (1.24) сводится к (1.1) — каноническим уравнениям Гамильтона.

В ситуациях, где не могут быть полностью решены уравнения движения, можно получить значительную информацию относительно движения частиц, если есть возможность найти интегралы движения. Ранее качественно показано, каких упрощений можно добиться при существовании таких интегралов. Выведем некоторые свойства констант движений для гамильтоновых систем. Записывая

полную производную по времени от произвольной функции и подставляя уравнения Гамильтона (1.1), получаем

Если не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом, то член в круглых скобках исчезает, и -интеграл движения. Ясно, что если гамильтониан не является явной функцией времени, то он — интеграл движения. Если мы в качестве функции возьмем одну из компонент импульса (предполагается, что она неявная функция времени), а соответствующая координата — циклическая в гамильтониане (т. е. из (1.20) или непосредственно из уравнений Гамильтона получаем, что таким образом, интеграл движения:

Для гамильтониана, независящего явно от времени, и для специального случая, когда все координаты циклические,

Интегрируя, получаем соотношение

которое дает решение для временной зависимости переменных. Если можно найти такое преобразование, которое переводит все импульсы в константы, то выражения (1.26) — решения в преобразованной системе координат. Тогда обратное преобразование дает полное решение, записанное в первоначальных координатах.

Мы уже нашли преобразование от лагранжевой формы с переменными к гамильтоновым пер еменным Более общее преобразование ведет к теории Гамильтона — Якоби классической механики. Для перехода от переменных к новой группе переменных их можно связать посредством функции, зависящей от одной старой и одной новой переменных. Так как лагранжиан выводится из вариационного принципа, то, используя (1.21), имеем

запись можно сделать либо для координат с черточкой, либо для координат без черточки. Таким обр азом, подынтегральное выражение (1.27) для двух групп координат отличается самое большее на полный дифференциал некоторой функции, что можно выразить следующим образом:

где мы произвольно предположили, что функция Расписывая полную производную от получаем

Считая, что переменные в (1.29) независимы, находим, сравнивая члены в (1.28) и требуя, чтобы члены при равнялись нулю, что

и

Можно также определить произвольные функции как функции других пар переменных:

Если, к примеру, образуем преобразованием Лежандра

то получим уравнения преобразования:

Функции определяются преобразованиями, сходными с (1.31), которые ведут к соответствующим уравнениям преобразования.

С помощью этих преобразований можно показать, хотя бы формально, как могут быть решены уравнения движения динамической системы. Заслуживают интереса два случая: один — с зависящим от времени гамильтонианом, другой — с гамильтонианом, не зависящим от времени. В первом случае положим что эквивалентно преобразованию к новым координатам и импульсам, производные по времени от которых, как следует из канонических уравнений движения, равны нулю. Таким образом, координаты и импульсы сами являются константами, что можно конкретизировать как начальные значения непреобразойанных величин. Таким образом, уравнения преобразования являются в действительности

нием, дающим координату и импульс в любой момент времени в зависимости от начальных значений. Подставляя (1.32) в (1.34) с получаем дифференциальное уравнение в частных производных:

где решение (1.35), обычно называемое главной функцией Гамильтона. Для случая, в котором не зависит от времени, нужно только положить равным константе, и преобразование (1.34) примет вид

с решением в форме (1.26). Здесь известна как характеристическая функция Гамильтона, обычно обозначаемая Оказывается, пока (1.35) или (1.36) не разделены, их также трудно решить, как и первоначальную группу канонических уравнений. Однако из исследования этих уравнений можно почерпнуть много полезного. Для не зависящего от времени, не зависит явно от времени и, так как полная производная по времени от дается выражением

интегрируя которое, получаем

Для колебательных систем интеграл от за период, как видно, является обобщением интеграла (1.12). В следующем разделе данного параграфа покажем, что для постоянного

т. е. значение полученное в результате интегрирования по замкнутому пути, — интеграл движения.

Для периодической системы, в которой можно разделить координаты для каждой степени свободы,

для каждого данные выражения могут, служить затем в качестве соответствующей группы импульсных переменных для получения полного решения в форме (1.26).