Численное определение оптимального напряжения.

Рассмотрим синхротрон, в котором бетатронные колебания возникают как от поперечного, так и от продольного фазового пространства эмиттанса. Нормированные распределения плотности частиц в фазовом пространстве эмиттанса задаются функциями где индексы 1 и 2 означают продольное и поперечное фазовые пространства соответственно. Используя (4.139) и (4.140), преобразуем плотность эмиттанса в продольном фазовом пространстве к Запишем через переменные эмиттанса тогда амплитуду бетатронных колебаний можно задать выражением

где как и раньше, является отклонением равновесной орбиты от главной орбиты; радиальное отклонение начального положения частицы от главной орбиты и постоянная, характеризующая ускоритель, так что амплитуда

бетатронных колебаний, которая возникла бы только от поперечного отклонения импульса. Если предположить, что частоты бетатронных и синхротронных колебаний некоррелированы, то полная амплитуда колебаний частицы или

Используя (4.155), чтобы исключить из и интегрируя по получаем соотношение вида

где и -функции Теперь просто подставляя в (4.142), мы получаем:

Полное число частиц внутри любого тогда можно найти из (4.143). Уравнения (4.157) и (4.143) в общем случае должны решаться численно.

Рис. 4.14. Значение плотности заряда в зависимости от радиуса для трех значений приложенного напряжения (численный расчет).

В качестве примера рассчитаем оптимальное напряжение инжекции Кембриджского электронного ускорителя-синхротрона с сильной фокусировкой. Используемая полуширина вакуумной камеры составляет см. Параметры ускорителя таковы, что

отклонение энергии на вызывает радиальные синхротронные колебания с см, угловая расходимость рад приводитк амплитуде бетатронных колебаний Напряжение, соответствующее устойчивой фазе, необходимое для установления правильной степени изменения энергии при инжекции, составляет Характеристики эмиттанса таковы, что разброс по энергиям составляет приблизительно для всех фаз синхротрона; угловая расходимость носит гауссовский характер и в точках, где интенсивность составляет половину интенсивности пучка, равняется рад. Начальный ладиальный разброс мал и при анализе его можно не учитывать.

Рис. 4.15. Доля заряда, захваченного на данный радиус, для нескольких значений приложенного напряжения.

Мы видим из (4.155), что для значений перечисленных выше параметров радиальные бетатронные колебания слегка больше радиальных синхротронных колебаний. Вычисленные значения плотности заряда в зависимости от радиуса нанесены на рис. 4.14 для трех значений приложенного напряжения Обозначены также величины для каждого напряжения. Доля захваченных частиц в зависимости от радиуса нанесена на рис. 4.15 для трех распределений. Оптимальным приложенным напряжением является то, которое захватывает наибольшее число частиц внутрь Значение напряжения, при котором захватывается наибольшее число частиц, определяется из графика интерполяцией. Для используемой полуширины в 6,3 см оптимальное приложенное напряжение V и доля эмиттанса, захваченная при этом оптимальном напряжении, оцениваются из рис. 4.15 и составляют

а соответствующее значение

Сравнивая (4.149), (4.153) и (4.158), видим, что, как и ожидалось, значение для частичной корреляции лежит между значениями найденными при отсутствии корреляции и в случае полной корреляции.