Теорема Лиувилля для 6-мерного фазового пространства с учетом взаимодействия между частицами.

Хотя доказать теорему Лиувилля для -мерного фазового пространства можно только в случае невзаимодействующих частиц, при наличии взаимодействия между частицами это можно сделать лишь приближенно. Корреляции между частицами обычно очень малы, так что поведение каждой частицы по отношению к данной группе координат тождественно поведению любой другой частицы, т. е. каждая из них испытывает действие со стороны всего коллектива частиц. В пределе бесконечного числа частиц с бесконечно малым, зарядом (так что суммарные поля всего коллектива частиц остаются конечными) одночастичная функция распределения описывает поведение системы точно. Это можно пояснить на примере системы заряженных частиц, стремящихся перестроиться так, чтобы остаться нейтральными и экранирующий потенциал которых, как следует из простых рассуждений, должен быть вида

где расстояние от флуктуации заряда; отношение тепловой скорости (соответствующее усреднение по распределению скоростей) к плазменной частоте Таким образом, с ростом плотности дебаевский радиус экранировки уменьшается и роль индивидуальных флуктуаций стирается.

Были предложены различные доказательства возможности рассмотрения уравнения Лиувилля в фазовом пространстве меньшего числа измерений в пределе бесконечного числа частиц с бесконечно малым зарядом. Ростокер, Розенблют [20] и другие авторы использовали разные методы доказательства, предложенные группой ББГКУ (инициалы авторов первоначальных исследований; для более подробного ознакомления см. работы [8] и [9]). Независимое доказательство было предложено Милсом и Сесслером [17]. Преимущество ББГКУ-подхода состоит в том, что можно определить поправки более высокого порядка. Предполагая сначала предельный случай усредненного заряда, корреляции могут быть введены через негамильтоновы столкновительные члены, что постулировалось Больцманом [5]. В этом случае член в правой части выражения (1.84) заменяется членом, учитывающим столкновения, так что (1.84) принимает вид

Здесь учитывает силу, действующую на частицу со стороны остальных частиц коллектива.

Хотя ББГКУ-подход уводит довольно далеко от главного направления этой книги, обрисуем здесь в общих чертах метод и основные результаты, которые будут использованы в последующем изложении; силы, вызванные пространственным зарядом, включим в гамильтоновы силы Сначала введем слегка измененные обозначения, которые облегчат изложение. Будем использовать векторные обозначения так что индекс в этом случае обозначает частицу, а однократное интегрирование означает интегрирование по трем степеням свободы этой частицы. Рассмотрим силы вида

где первый член представляет собой внешние силы, т. е. это зависящий от времени градиент потенциала, а в качестве второго члена возьмем для простоты кулоновский потенциал. Магнитные силы не учитываются, они могут быть рассмотрены аналогичным образом. Ранее мы предполагали, что многочастичная функция распределения является произведением одночастичных функций распределения, что позволило последовательно провести интегрирование по координатам каждой частицы. При наличии кулоновского взаимодействия, оказывающего влияние на движение частиц, нельзя больше a priori предполагать такую независимость. Поэтому определим -частичную функцию распределения в системе, состоящей из частиц:

Эту функцию можно интерпретировать следующим образом:

что является вероятностью частицы иметь координаты в интервале от до и импульс в интервале от до и так для всех частиц от первой до Выражение (1.89) полностью аналогично определенному ранее распределению вероятности

Теперь проинтегрируем уравнение Лиувилля [уравнение (1.74) с ] по частицам от до после небольшой перегруппировки членов получим уравнение в векторных обозначениях для -частичной функции распределения:

Уменьшение размерности фазового пространства в этом случае во всех членах, кроме последнего, было выполнено аналогично предыдущему пункту. Можно уменьшить размерность (1.90), используя то свойство, что симметрична по отношению к перестановке индексов любых двух частиц. Это означает, что корреляции частиц, описываемых -частичной функцией распределения с любыми -частицами, которые не описываются -частичной функцией распределения, те же самые. На основании этого считаем, что интегралы по координатам частиц пробегают значения от до идентичны и суммарная сила равна силе одной частицы. Последний член в (1.90) тогда принимает вид

Здесь проведено интегрирование -координатам частиц, которых нет в выражении для силы. Мы выразили -частич-ную функцию распределения через -частичную функцию распределения. Поэтому имеем цепочку таких уравнений, начиная с одночастичной функции распределения, выраженной через двухчастичную функцию распределения:

Последнее уравнение этбй цепочки — уравнение Лиувилля. К сожалению, нельзя, решив первое уравнение, найти зависимость от времени до тех пор, пока не известно которое, в свою, очередь, находят из последующего уравнения цепочки, и т. д. до последнего уравнения цепочки. Нужен метод, который бы давал возможность обрывать на некотором шаге эту цепочку. К примеру, если то последний член в (1.45) равен нулю, и можно сразу прийти к уравнению Лиувилля в шёстимерном пространстве.

Процедура, с помощью которой можно будет отделить одночастичную функцию распределения от многочастичной, заключается в том, чтобы найти такой параметр малости, который позволит разорвать цепочку уравнений и затем разложить эту функцию распределения в ряд по степеням этого малого параметра, так что низшая степень разложения соответствует расщепленным функциям распределения. Процедура разложения по малому параметру будет неоднократно использована в книге, поэтому она подробно рассмотрена ниже. Здесь же отметим что если увеличивать до бесконечности число частиц, но оставить постоянным, то четвертый член в (1.90) исчезает, в то время как пятый член (1.91) остается конечным. На первый взгляд кажется, что это мало даст, так как уравнения зацепляются через пятый член. Отметим, однако, что эта процедура физически означает, что эффекты, вызванные столкновениями индивидуальных частиц, становятся незначительными, в то время как силы взаимодействия между частицами представимы в виде интеграла по функции распределения. Поэтому можно ожидать; что с точностью до первого члена в разложении некоторой величины, связанной с -частичная функция распределения может быть разбита на произведение -частичной функции распределения и одночастичной функции распределения, которая описывает все другие частицы, каждая из которых идентична с -частицей. Явный вид параметра разложения сейчас не важен, но, для того чтобы быть последовательными, нужно выбрать некоторый масштаб времени и длины, по которым будет проводиться разложение. Можно показать, что если нормировать время на и расстояние на , то первые три члена и пятый член — нулевого порядка, а четвертый член — первого порядка малости при разложении в ряд по безразмерному параметру

где равно плотности частиц и, таким образом, а — число частиц в дебаевской сфере. Проводя разложение в ряд по степеням параметра

и затем предполагая, что функция распределения нулевого порядка равна произведению одночастичных функций распределения

получаем (1.90) с точностью до членов первого порядка разложения:

где подставлено вместо так как и исключен из интеграла фактор Положим, что для одночастичной функции распределения, тогда (1.95) примет вид

где

— усредненное по всем частицам поле. Выражение (1.96) — записанная в шестимерном фазовом пространстве теорема Лиувилля, где

— сила, включающая градиент усредненного потенциала. Это уравнение известно как бесстолкновительное уравнение Больцмана или уравнение Власова.

Хотя вывод выражения (1.96) показывает, что силы пространственного заряда могут быть включены в теорему Лиувилля, для полноты картины дадим метод, с помощью которого можно получить эффекты более высокого порядка, обусловленные столкновениями отдельных частиц, включая корреляции между ними. Процедура состоит в том, чтобы использовать разложение, в котором мы предполагаем, что функции распределения могут быть записаны в виде

и т. д. до где мы использовали для краткости обозначение Ясно, что формально можно использовать такое разложение, но практически им можно воспользоваться только в том случае, если малые величины. На языке предыдущего

разложения предположим, что так что с точностью до первого порядка по

и так как

то получаем член первого порядка малости

где - двухчастичная функция распределения. Получаем замкнутую систему в отношении и переходя ко второму члену в цепочке уравнений, описывающих эволюцию двухчастичной функции распределения, которая затем замыкается по первому порядку по