Глава 4. ДИНАМИКА ЧАСТИЦ В УСКОРИТЕЛЯХ

§ 4.1. Бетатронные колебания

Общее описание колебаний в ускорителях.

Концепции фазового» пространства облегчают описание движения частиц в ускорителях и поэтому нашли широкое применение при конструировании последних. Изложим основные понятия движения частиц в ускорителях как исчерпывающий пример использования этих концепций. Особое внимание будет уделено методам согласования в фазовом пространстве с использованием результатов гл. 3. Этот аспект динамики частиц в фазовом пространстве играет первостепенную роль при инжекции частиц в ускоритель и используется для увеличения числа захваченных частиц. Методы фазового пространства находят применение при решении многих других вопросов динамики частиц в ускорителях, некоторые из них мы также рассмотрим. Одно из важных применений этого метода, которое подробно изучено в гл. 3, - вопрос транспортировки пучков. К тому же даже в тех случаях, когда трудно использовать гамильтонов формализм и соответствующие теоремы фазового пространства, концепции фазового пространства бывают очень плодотворны. Рассмотрение численных расчетов нелинейных явлений и точных траекторий с точки зрения фазового, пространства позволяет взглянуть на предмет исследований под другим углом зрения. В § 4.4 дан пример использования представлений фазового пространства в связи с численными траекторными вычислениями. В литературе по ускорителям используются фазовые представления при расчетах нелинейных эффектов.

Чтобы ускорить заряженные частицы, необходимо их удержать, внутри вакуумной камеры. Хотя существует много способов ускорения частиц, обсудим только один: ускорение с помощью высокочастотного поля, в котором компонента электрического поля постоянна в системе координат, связанной с частицей. В линейных ускорителях ускорение происходит на небольших расстояниях с помощью сильного ускоряющего поля. В синхротронах ускорение происходит постепенно за много оборотов частицы по круговой орбите. Таким образом, в синхротроне частицы должны удерживаться около некоторой равновесной орбиты, тогда как в линейном ускорителе частицы хотя и должны фокусироваться, но устойчивость, в течение длительного промежутка времени не требуется. Как в

линейных, так и в циклических ускорителях устойчивость требуется по отношению к ускоряющему полю, которое неоднородно в пространстве. Устойчивое ускорение происходит только в том случае, когда структура поля такова, что частицы группируются около некоторого положения, причем напряженность поля в этом положении достаточна для ускорения частиц до той скорости, с которой распространяется электромагнитная ускоряющая волна.

Проведем качественный анализ колебаний в синхротроне, иллюстрируя большинство из требований устойчивости в ускорителях. В § 4.1 проанализируем те колебания, которые имеют место в отсутствие ускоряющих полей; эти колебания обычно называются бетатронными колебаниями (называются также свободными колебаниями), так как они впервые изучались Керстом и Сербером [11] в бетатроне.

Рис. 4.1. Соотношения между типами орбит в синхротроне со знакопеременными градиентами (F - фокусировка, D - дефокусировка).

В § 4.2 развита теория колебаний, обусловленных наличием ускоряющего поля. Эти колебания обычно известны как синхротронные колебания (также называемые синхронными или вынужденными колебаниями), так как они впервые изучались в синхротроне.

Предположим, что в отсутствие ускоряющей силы существует замкнутая равновесная орбита, такая, что частицы с определенным начальным импульсом будут постоянно двигаться по этой орбите. Курант и Снайдер [6] показали, что такая орбита существует, если магнитный поток постоянен вдоль некоторого пути. Для азимутально-симметричных магнитных полей равновесные орбиты окружности, для периодически изменяющихся магнитных полей радиусы этих замкнутых орбит изменяются с тем же периодом, с каким меняется магнитное поле. Если начальные координаты частицы не соответствуют движению вдоль равновесной орбиты, то траектория частицы будет отличаться от равновесной орбиты и, если движение устойчиво, будет совершать колебания около равновесной орбиты? На рис. 4.1 для периодически изменяющегося магнитного поля показаны часть равновесной орбиты (пунктиром) и неравновесная

колебательная орбита. Чтобы предотвратить резонансную раскачку в ускорителе (как отмечалось в § 1.4), длина колебания не должна зыть кратной окружности машины. Мы обычно линеаризуем уравнение движения, так что возмущение поперечной скорости не меняет абсолютную величину импульса. Таким образом, в пределах тинейного приближения равновесная орбита соответствует заданной абсолютной величине полного импульса. Бетатронные колебания имеют место вследствие отклонений положения и скорости в набавлении, перпендикулярном равновесной орбите.

Для анализа синхротронных колебаний рассмотрим синхронию орбиту, на которой частица с определенным импульсом ускоряется таким образом, чтобы поддерживать постоянной ее фазу относительно ускоряющего поля. Для ускорителей со знакопеременными градиентами орбита часто выбирается так, что магнитное поле здоль нее постоянно, эта орбита называется главной и является окружностью (на рис. 4.1 она показана сплошной линией). Частица импульсом и фазой, отличающимися от синхронных значений, совершает колебания около этой синхронной орбиты. Обычно период этих колебаний значительно больше, чем период бетатронных колебаний. Таким образом, на временной шкале синхротронных колебаний орбиты с устойчивой фазой — равновесные орбиты. Строго говоря, бетатронные и синхротронные колебания связаны. Однако, так как период синхротронных колебаний значительно больше периода бетатронных колебаний, в адиабатическом приближении эти типа колебаний могут рассматриваться порознь. К тому же в лилейной области, как мы показали, матрица преобразования для колебаний может быть диагонализирована, что ведет к независимым степеням свободы колебаний.

Основы теории орбит линейных и циклических ускорителей развиваются в следующих параграфах. Однако изложение не ставит теред собой задачу дать исчерпывающее описание различных типов ускорителей. Основной упор делается на применение методов фазового пространства к динамике частиц. Для более полного изучения геории ускорителей рекомендуем читателю ряд книг по данному тредмету [15, 16]. Значительная часть материала этой главы освещается в несколько отличной форме в двух монографиях по ускорителям [12, 2]. Кроме того, имеется ряд обширных обзоров, на которые имеются ссылки в тексте, особенно заслуживают внимания статьи [28] по линейным ускорителям и работа по синхротронам [7]. Понятия фазового пространства в значительной степени используются при описании нелинейных бетатронных колебаний. Материал то этому вопросу, который мы здесь не рассматриваем, можно найти указанных выше монографиях.