§ 2.4. Адиабатические инварианты для систем с более чем одной степенью свободы

Использование адиабатических инвариантов.

Рассмотрим систему связанных дифференциальных уравнений вида

Мы уже обсуждали различные методы решений таких уравнений.

1. Если уравнения описывают малые колебания около равновесной орбиты, то разложение в ряд Тейлора дает уравнения

которые можно легко решить как систему линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Для нелинейных колебаний система имеет единственное точное решение, если существует преобразование, переводящее систему (2.63) в гамильтонову систему, для которой переменные разделяются. При этом импульс становится постоянным и выражается уравнением типа (1.35) или (1.36), имеющим решение, аналогичное (1.26). В гамильтоновой форме уравнение (1.41) записывается в виде

где постоянные импульсы задаются тривиальными уравнениями

Теперь предположим, что такое разделение невозможно, но уравнения описывают колебательное движение, которое можно разбить на два почти периодических колебания с сильно различающимися периодами. Пусть эти колебания совершаются соответственно по направлениям Постоянные а являются интегралами действия для этих степеней свободы. Тогда имеем:

и

где х и у — «угловые» переменные. Для простоты предположим, что Мы уже знаем, что для имеется одномерное движение с являющееся решением уравнения (2.64в). Гамильтониан цикличен по х и можно непосредственно получить решение уравнения (2.64а) в виде квадратур. Будем теперь считать, что у медленно изменяется в течение полного колебания по х. Поскольку интеграл действия — адиабатический инвариант для медленных изменений параметров, то можно считать, что «адиабатически» постоянен; таким образом, как и раньше, возвращаемся к решению Однако это решение годится только для частного значения Если теперь у медленно меняется, то решение также меняется, но известным образом. В принципе мы получили решение уравнений (2.64б) и (2.64г) для у, так как, зная обе константы можно уравнения относительно у привести к квадратурам. В случае, когда гамильтониан изменяется со временем (правда, достаточно медленно, чтобы оставался также адиабатически постоянным), описанная процедура все еще верна.

Эквивалентный способ решения проблемы связанных колебаний — это рассмотрение колебаний в двумерном фазовом пространстве с медленным дрейфом орбиты в другом измерении. Если колебания несвязанные, то проекция траектории в плоскости будет замкнутой петлей, а ограничиваемая ею фазовая площадь (или, что эквивалентно, интеграл действия) — постоянна, как показано в § 1.3. Если дрейф по у меняет параметры, характеризующие колебания по х, незначительно в пределах одного периода этих колебаний, то, как мы видели в § в приближении фазовой независимости, т. е. поведение частицы при всех х и при о подобно медленному изменению у. Действительно (см. § 2.2), этот результат справедлив только асимптотически, если пользоваться разложением по параметру где большое число, которое по существу является отношением медленного и быстрого периодов изменений. Этот вид разложения, развитый Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, описан в § 1.4. Однако Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов интересовались нахождением решения для медленной вариации у в присутствии быстрых колебаний по переменной х. Крускал [13] использовал этот метод, чтобы показать существование адиабатического интеграла движения для всех порядков разложения, если для самого низкого порядка одна из степеней свободы представляет периодическое движение. Теперь разберем метод формального разложения (метод Крускала).

Описание метода. Рассмотрим автономную (неявная зависимость от независимой переменной) систему уравнений в векторной форме

Здесь независимая переменная; малый параметр. Заметим, что для неавтономной совокупности уравнений можно ввести новую переменную такую, что новая расширенная совокупность уравнений

будет автономна. Предположим, что для нулевого порядка по система (2.65) имеет вид

и будет периодической по Согласно этому предположению для -компонентного вектора должно быть переменных удовлетворяющих уравнению

переменная периодическая в нулевом порядке, определяет положение на замкнутой кривой. В новых переменных система (2.65) имеет вид

где благодаря (2.68) устремится к нулю вместе с Отметим, что (2.69) эквивалентно (1.144) в методе усреднения Крылова — Боголюбова. Уравнения (2.69) представлены в виде, позволяющем выявить интеграл движения нулевого порядка, что понижает число независимых переменных на единицу. Однако для более высоких порядков петли не замкнуты, и поэтому интегралы движения более высоких порядков не выражаются точно в виде интегралов действия. Следуя Крускалу, проделаем дальнейшие преобразования, в результате которых получим замкнутые орбиты для всех порядков в разложении по степеням и тем самым постоянство интеграла действия во всех порядках. Было установлено, однако, что решения являются асимптотическими, поэтому здесь, как и в предварительном обсуждении, интеграл действия является лишь адиабатическим интегралом.

Введем новые переменные, чтобы сделать независимыми переменные, описывающие движение вдоль замкнутых орбит:

где функции . Покажем, что переменные в и могут быть найдены независимо для любого порядка по Поэтому требуется четыре соотношения, которые связывают величины порядка с теми же величинами порядка. Поскольку величины нулевого порядка могут быть определены, то индукцией можно получить полное решение. Чтобы получить

эти соотношения, выразим полные производные в (2.70) через переменные у и 0, используя уравнения (2.69) и уравнения преобразования:

Дополнительно потребуем, чтобы были периодическими, т. е.

где — переменная, аналогичная углу. Введем несколько произвольных начальных условий, которые позволят выразить решения для через

Возможен также и другой выбор начальных условий, но условия (2.73) упрощают преобразования. Теперь получим выражения, из которых можно вычислить и со для любого порядка по Предположим, что можно вычислить точно. Возможны также другие методы, ниже мы кратко остановимся на них. Деля (2.71) на интегрируя и определяя постоянные интегрирования из начальных условий, полутаем

Используя условие периодичности, имеем

Четыре уравнения (2.74) — (2.77) можно использовать для определения неизвестных переменных для любого порядка по Предположим, например, что переменные известны до порядка по Тогда интеграл в (2.74) (величина того же порядка), умноженный на даст

Теперь можно найти из уравнения (2.76). Если известно то из (2.77) независимо находится После определения из (2.75) можно найти Этот метод усреднения [см. уравнение (2.78)] аналогичен видоизмененному методу Крылова — Боголюбова для первого порядка; для первого порядка z он дает усредненную переменную из § 1.4. Однако условие периодичности z во всех порядках более существенно, чем то, что усредненная величина первого порядка.