Асимптотическое разложение.

Процедура вычисления приближений следующих порядков малости для нелинейного уравнения или для уравнения с зависящими от времени коэффициентами, как отмечалось ранее, не обязательно сходится. Действительно, Пуанкаре [19] показал, что метод, с помощью которого удаляются резонансные члены, часто приводит к тому, что ряды не сходятся к решениям. Несмотря на это, ряды могут все же сходиться асимптотически (не абсолютно) в том смысле, что если положить скажем, в (1.119) и записать выражение для как в (1. 22)

то, рассматривая как частичную сумму членов выражения (1.132), говорят, что разложение сходится асимптотически, если

для любого где как так и предполагаются фиксированными. Замена переменных сама по себе не играет роли и для большинства проблем, связанных с отысканием решений с помощью метода возмущений, сходимость нас не интересует по той причине, что функции обычно аппроксимируются несколькими членами разложения. Однако если можно показать, что ряды сходятся асимптотически, то из вида выражения (1.133) ясно, что для больших Т сходимость быстрая. Следовало бы также указать, что если то так как

для всех Таким образом, функция может быть асимптотически равной нулю и одновременно вести себя как экспонента с параметром

Асимптотическая формула особенно полезна, когда встречаются функции, медленно меняющиеся со временем. Этот метод имеет длинную предысторию в связи с изучением гармонического осциллятора с переменной частотой, берущую свое начало от метода фазового интеграла Лиувилля [16] и Грина [11], метод развит позднее Вентцелем [22], Крамерсом [13] и Бриллюэном [6] при построении квантовой механики и известный в последнем виде как ВКБ-приближение. Если для гармонического осциллятора

считать, что — медленно меняющаяся величина, то, проведя замену переменных имеем

где теперь считается большим числом, определяющим масштаб времени, в течение которого происходит значительное изменение т. е.

Согласно методу или методу фазового интеграла, в (1.135) нужно сначала провести замену

так что, записав как которое после подстановки в (1.135) дает уравнение Рикатти:

Если теперь слегка изменим члены разложения таким образом, что основной член будет линеен по

и подставим разложение в (1.138), получим для самой высокой степени разложения по

и для следующего порядка по

Подставляя (1.139) и (1.141) в (1.137), получаем выражение

которое после интегрирования второго члена и подстановки выражения для из (1.140) дает ВКБ-решение:

Можно строго доказать [3], что х является асимптотой к х. В несколько измененной форме воспользуемся этой процедурой в гл. 2, чтобы определить адиабатическую вариацию интеграла действия. Там этот процесс рассмотрен до более высоких степеней разложения и с использованием более удобного метода, используемого Кулсрудом [15] для линейных систем и Крускалом и другими (см. ссылки к гл. 2) для более общих систем.