Анализ группирующей секции линейного ускорителя.

Приближенное изменение фазы и энергии колеблющейся частицы было найдено в § 4.2 из линеаризованного уравнения движения с применением адиабатической теоремы. Формула (4.70) дает изменение амплитуды осциллятора в адиабатической переходной области

где частота колебаний; продольная масса; для удобства обозначений опущена черточка над амплитудой возмущения Подставляя вместо их значения из (4.62) и (4.68) соответственно, получаем

которое дает изменение амплитуды в зависимости от изменения параметров ускорителя. Как и раньше, скорость и фаза неколеблющейся частицы; максимальное значение ускоряющего поля; заряд частицы; — частота высокочастотного поля; с — скорость света. Вводя полную энергию частицы с устойчивой фазой и учитывая отношение параметров в конечной и начальной областях, получаем отношение начального разброса скоростей к конечному:

где индексы означают соответственно начальные и конечные значения величин. Так как произведение (также опущена черточка над должно оставаться постоянным в силу адиабатической теоремы, получаем изменение импульса с изменением параметров. Мы отмечали, что для небольших изменений импульса зависимость между изменением энергии и изменением импульса дается из разложения в ряд Тейлора как Заметим, что изменение энергии в лабораторной системе, не равное энергии осциллятора в движущейся системе. Из (4.132) и соотношения с пропорциональностью между получаем отношение разброса частиц по энергии в конечной области к начальной:

Теперь может быть получен разброс конечной фазы и энергии. Конечный разброс по фазам находят, комбинируя начальный разброс с фазовой группировкой, задаваемой выражением (4.133). Находя начальный разброс по энергиям для заданных начальных условий и подставляя это значение в (4.133), мы получаем разброс по энергиям в конце группирователи:

где фаза частиц на входе группирователи; считаем, что разброс по энергиям эмиттанса незначителен. Теперь мы имеем уравнение, с помощью которого можно определить характер варьирования параметров, чтобы добиться максимального группирования и минимального разброса по энергиям. Из (4.132) видно, что группирование требует большого отношения начального поля к конечному, а также, если частицы при инжекции нерелятивистские, хорошее группирование требует больших начальных скоростей. Так как ускоряющее поле ограничено, требование максимального группирования и минимального разброса по энергии сводится к тому, чтобы было сделано как можно маленьким. Используя (4.134), находят минимум по отношению к скорости, который имеет место

для маленьких значений начальных скоростей, что противоречит требованию (4.132). Однако скорость не является чувствительным параметром и при ее выборе руководствуются практическими соображениями. Если частицы выходят из источника с большим разбросом по энергиям, то начальное поле должно быть достаточно большим, чтобы захватить эти частицы, но обычно разброс незначителен. Минимальное значение поля, которое может быть получено в начале ускорителя, зависит от свойств ускоряющей структуры.

В приведенных выше рассуждениях, мы предположили адиабатичность области группирователя. Это предположение не является оправданной необходимостью, параметры могут значительно изменяться за одно фазовое колебание. Поэтому вернемся к § 2.3, в котором развита теория минимизации роста площади фазового пространства. В линейном приближении мы нашли, что если изменение на единицу фазового изменения пропорционально самому т. е.

то рост площади фазового пространства может быть уменьшен, но этот рост обычно мал. Здесь волновой вектор, константа малости. Вводя величину отношения осей, которое, как видно из (4.67), равно становится

Уравнение (4.136) должно решаться одновременно с уравнением движения частицы с устойчивой фазой. Преобразуем (4.56) и (4.136) так, чтобы они содержали только переменные и параметр После некоторых алгебраических преобразований получаем уравнение силы

и уравнение постоянной степени изменения отношения осей

которое является системой двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка для с параметром Затем, чтобы получить однозначное решение через фиксируем а затем изменяем независимо, чтобы получить желаемый компромисс между сохранением фазового пространства и небольшой протяженностью секции группирования.

В качестве примера рассмотрим небольшой группирователь [18], который требует как ограничения по фазе, так и ограничения разброса по энергии. Его параметры:

нагрузкой пучком); рад/сек. Максимальное поле определяется импедансом и мощностью на входе. Поле на входе было выбрано по возможности малым в соответствии с конструктивными особенностями. Значение начальной скорости является компромиссным между противоречивыми требованиями и той скоростью, которая может быть получена в реальных электронных пушках.

Рис. 4.11. (см. скан) Конструирование группирующей секции линейного ускорителя изменение поля и скорости для минимизации роста продольного фазового пространства (б).

Следующее требование состоит в том, чтобы группирующая секция (область изменяющегося поля) была как можно короче, чтобы уменьшить полную длину ускорителя. Положение устойчивой фазы выбрано так, чтобы обеспечить достаточно широкий аксептанс [приблизительно 135°, как следует из (4.65)] и в то же время высокое начальное ускорение.

На рис. 4.11 нанесено изменение поля и скорости с расстоянием для различных значений параметра

Изменение сильно влияет на кривые в целом, но не оказывает заметного действия на их начальный наклон. Начальный наклон в первую очередь определяемся начальными условиями. Изменение дает дополнительную степень свободы, с помощью которой можно либо варьировать длину группирующей секции до желаемого размера, либо обеспечить плавный переход в главную ускоряющую секцию. Для наших параметров все эти требования оказались совместимыми.

Теория группирователя проверяется непосредственным интегрированием уравнений движения с привлечением численных методов. Для расчета орбит, приведенных здесь, выбрано так, чтобы уменьшить разрыв в производной поля на краю группирующей секции. Шунтовый импеданс и длину потерь оставшейся части ускорителя считают постоянными, а скорость волны регулируют с тем, чтобы она оставалась синхронной с устойчивой по фазе частицей. Напряженность поля испытывает естественное затухание из-за потерь в волноводе. Интегрирование - выполнено по всей длине - (75 см) ускорителя, при этом кинетическая энергия частицы с устойчивой фазой на выходе ускорителя составляет 2,598 Мэв. Найдено, что область фазовой устойчивости смещается несколько дальше по волне в сторону более высоких скоростей. Область фазовой устойчивости больше ожидаемой как для разброса по импульсам, так и для разброса по фазам. Для частицы с устойчивой фазой при и кинетической энергии инжекции вычисленные из гамильтониана границы аксептанса дают, что устойчивые колебания частиц происходят между фазами при энергии, соответствующей устойчивой фазе, и с кинетическими энергиями в пределах при положении устойчивой фазы. Вычисления на ЭВМ дают область устойчивости по фазам от и до и по энергиям между 0,055 и Это свидетельствует об увеличении площади аксептанса приблизительно на 30%. Фазовая группировка и разрешение по энергиям на этих границах, однако, недостаточны, так что вычисления орбит, используемые для проверки теории группирователя, взяты для фаз в пределах от до Проводилось два типа расчетов: один для определения эффективности фазового пространства, занятого частицами, которые в начальный момент распределены по всем фазам, но без разброса по энергии, и второй для определения эффективного фазового пространства всех частиц, заключенных внутри заданной начальной кривой постоянного гамильтониана. Первый расчет позволяет определить, какая часть эффективной площади в силу нитеобразования заполнена частицами. На рис. 4.12 орбиты на двух краях аксептанса нанесены на -фазовой площади по отношению к частице с устойчивой фазой, здесь отсчитывается от энергии частицы с устойчивой фазой, а фаза бегущей волны. Заштрихованная область — эллипс, внутри которого должны быть обнаружены частицы на выходе. Пунктирные линии — продолжение этих крайних орбит для линии постоянного гамильтониана

в приближении незначительных отклонений импульса во время колебаний. Мы видим, что начальная эффективная фазовая площадь (площадь, заключенная внутри орбиты частицы, соответствующей постоянному гамильтониану) больше, чем эллипс эмиттанса на выходе ускорителя (заштрихованная площадь). Значение эллипса эмиттанса заключается в том, что он является наименьшей областью, которая может быть согласована с фазовым пространством линейной системы, причем так, что будут захвачены все частицы. Для консервативных систем есть неравенства площадей фазового пространства

при условии, что захватывается все фазовое пространство источника. Первое неравенство выполняется потому, что фазовое пространство, занятое частицами у источника, не может уменьшаться в силу теоремы Лиувилля.

Рис. 4.12. Фазовые траектории и оптимально сконструированном линейном ускорителе.

Второе неравенство выполняется, так как эффективная площадь заключает все эллипсы, по которым частицы могут колебаться, и, таким образом, должна включать эллипс эмиттанса.

Частицы попадают в группирователь, будучи разбросанными по фазам, но имея незначительный разброс по энергиям. Из-за последующего значительного рассогласования они совершают колебания по значительной площади в фазовом пространстве. Как описано в гл. 1 и 3, нелинейный характер силы, направленной к положению равновесия, ведет к нитеобразованию в фазовом пространстве. После многих колебаний частицы могут оказаться внутри любой маленькой области фазового пространства, ограниченной колебаниями. С другой стороны, если потенциальная яма изменилась неадиабатически до того, как фазовое пространство стало нитевидным, гамильтониан после изменения будет зависеть не только от

начального гамильтониана частицы, но также от ее фазы. Таким образом, преобразование фазового пространства, в действительности занятого частицами, не будет тождественным преобразованию эффективного фазового пространства, связанного с начальными колебаниями. В гл. 3 эти связи обсуждались достаточно подробно.

Во втором расчете мы проверяли справедливость адиабатической теории определением преобразования всего эффективного фазового пространства. Этот расчет имеет также некоторые практические приложения в связи с использованием резонатора предварительного группирователя с протонным линейным ускорителем. В этом случае разброс по энергиям предварительного группирователя может быть сравнимым с разбросом по энергии аксептанса группирователя.

Рис. 4.13, Численный расчет преобразования продольного фазового пространства в линейном ускорителе.

Так же, если объединить два этапа предварительного группирования, можно получить согласование отношения осей, которое эквивалентно тому, что мы делаем эффективную фазовую область и эмиттанс идентичными. Сначала проверим применимость результатов гл. 2, для этого вычислим что в нашем случае приблизительно равно 1/5. Значение этой величины оправдывает процедуру разложения в ряд по крайней мере с точностью до членов второго порядка малости; это необходимо для вычисления роста площади фазового пространства. Из (4.99) находим, что рост площади фазового пространства составляет приблизительно 10%. Чтобы проверить теорию, выбираем квазилинейную область, т. е. область, в которой сила, направленная к положению равновесия,

линейно растет с расстоянием, хотя она и не является строго линейной. Поэтому ограничим рассматриваемую область фазового пространства гамильтонианом частицы, входящей при и без превышения скорости. Этот гамильтониан (кривая а) изображен на рис. 4.13. Затем вводим семейство частиц, начальные условия которых соответствуют этому значению гамильтониана (х-точки). Эти же самые частицы затем снова наносим в конце секции группирователя -точки) и, вычисляя площадь, находим, что рост площади фазового пространства составляет 10% от увеличения площади, найденного. из линейной адиабатической теории, таким образом, подтверждая результаты даже для достаточно быстро изменяющихся параметров и в слабо нелинейной области.