Эквивалентность классической механики и геометрической оптики.

Как уже отмечалось, вся теория фазового пространства может быть применена к тем задачам оптики, для которых действительна геометрическая интерпретация. Выведем математические соотношения, которые продемонстрируют тождество гамильтоновой характеристической функции с оптической длиной пути, или эйконалом геометрической оптики.

Распространение волн в однородной изотропной среде описывается скалярным волновым уравнением

которое допускает решение в виде плоской волны

где частота; — волновое число коэффициент преломления среды, т. е. отношение скорости распространения волны в среде к скорости света в вакууме с. Если среда неоднородна, т. е. то нужно искать решения, в которых как к, так и функции Далее будем постоянно использовать эти общие методы, особенно в гл. 2 при исследовании уравнений с изменяющимися параметрами. Запишем видоизмененное волновое решение уравнения

где меняющаяся амплитуда; для удобства к запишем как где волновое число для пустого пространства и оптическая длина пути, т. е. для -константы здесь проекция вдоль k. Подставляя (1.64) в (1.63) и сокращая на экспоненциальный множитель, получаем два уравнения для действительной и мнимой частей, которые должны быть порознь равны

нулю, так как фаза волны произвольна. Эти два уравнения имеют вид

Если теперь предположить, что изменение показателя преломления мало на расстоянии, равном длине волны, то в первом уравнении можно пренебречь первыми двумя членами по сравнению с членами, содержащими тогда приблизительно получаем

Предположение, что длина волны мала по сравнению с размерами системы, которое ведет к (1.65), — предположение геометрической оптики, а (1.65) известно как уравнение эйконала, или длины оптического пути геометрической оптики. Покажем, что для гамильтоновых систем, не зависящих от времени, выражение (1.65) идентично уравнению для гамильтоновой характеристической функции В декартовой системе координат гамильтониан частицы, движущейся — в поле, не зависящем от времени, имеет вид

Это уравнение после подстановки вместо выражения (1.32а) принимает вид

где использованы векторные обозначения. Как видно, уравнение (1.67) по своему виду идентично уравнению (1.65) и, таким образом, поведение эйконала в оптике аналогично поведению характеристической функции в механике. Эта аналогия первоначально использовалась, чтобы показать, что гамильтонову механику можно рассматривать как аппроксимацию геометрической оптики на волновую механику. Однако для наших целей необходимо сделать дополнительный шаг — определить связь между энергией и частотой Чтобы закончить отождествление, покажем, что оптический импульс направлен вдоль, луча и обратно пропорционален волновой скорости, как постулировалось в § 1.1. Первое из этих утверждений верно из аналогии с механикой, где так что оптический импульс направлен вдоль Чтобы получить связь со скоростью, отождествим линии постоянства с линиями постоянства т. е. положим, что удовлетворяет уравнению для гамильтоновой характеристической функции (1.36). Если затем мы попытаемся найти решение уравнения (1.35) относительно главной гамильтоновой функции для случая, когда не зависит от времени и только второй, член включает время то мы сможем отделить переменную предполагая, что имеет следующий вид:

Это позволяет свести (1.35) к форме (1.36):

(здесь намеренно использован индекс чтобы избежать двусмысленности в постоянном моменте Таким образом, если сохранять постоянным, то линии которые совпадают с линиями постоянных в момент времени отходят от точки этого соприкосновения согласно уравнению Так как также связано с обычным расстоянием выражением получаем зависимость для скорости

Поэтому мы провели аналогию между линиями постоянного с волновыми фронтами, которые движутся со скоростью, обратно пропорциональной импульсу, и подчиняются уравнению эйконала геометрической оптики где Таким образом, световой луч можно отождествить с вектором импульса частицы, движение которой описывается теоремами динамики.