Глава 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА

§ 3.1. Основные понятия

Введение.

В § 1.1 отмечено, что одной из главных причин введения фазового пространства является наша способность следить скорее за движением ограниченных областей в фазовом пространстве, чем за индивидуальными траекториями, которые образуют эту область. Так как фазовые траектории не могут пересекать одна другую, то группы фазовых точек, ограничивающих первоначально некоторую область, будут оставаться граничными все время. Таким образом, зная поведение границы, мы можем сделать заключение о положениях и импульсах всех частиц, находящихся в этой области. Такие заключения можно сделать как для колебательных, так и для неколебательных систем. Дополнительные преимущества имеются в случае колебательных систем, обладающих либо одной, либо несколькими степенями свободы, по которым переменные разделяются. Если гамильтониан частицы постоянен-, то интеграл движения локализует пучок частиц в фазовом пространстве Траектория одной частицы однозначно ограничивает всю группу траекторий. Как показано в гл. 2, при медленном изменении параметров частицы, первоначально лежащие на кривой постоянного гамильтониана, продолжают оставаться на ней и после того, как гамильтониан изменяет свое значение. Таким образом, частица, орбита которой, взятая за один период, ограничивает группу траекторий, продолжает оставаться граничной, несмотря на тот факт, что гамильтониан частицы и форма орбиты изменились. В силу теоремы Лиувилля площадь в фазовом пространстве, ограниченная этой орбитой, остается постоянной, что, как показано в гл. 2, также означает адиабатическое постоянство интеграла действия.

Скачкообразное изменение параметров.

В большинстве случаев гамильтониан частицы изменяется за время, короткое в сравнении с периодами любых колебаний системы, и, таким образом, теория адиабатических инвариантов здесь неприменима. Исследуем поведение области фазового пространства в случае быстрого изменения гамильтониана. Рассмотрим пучок частиц, входящих в область, где силы, действующие на частицы, нелинейны. В качестве примера рассмотрим группирующую секцию линейного ускорителя, где область фазового пространства, отвечающая устойчивым колебаниям, состоит из семейства кривых постоянного гамильтониана,

(кликните для просмотра скана)

расположенных вокруг значения соответствующего устойчивой фазе, и простирающихся до некоторой максимальной фазы в каждом из направлений. Внутренние линии постоянного гамильтониана — почти эллипсы, соответствующие почти линейным силам, возвращающим частицу к положению равновесия. На внешних кривых сила, возвращающая частицу к положению равновесия, меньше линейной, поэтому частота колебаний меньше. Сила стремится к нулю на сепаратрисе, где значение гамильтониана или полной энергии равно экстремуму За сепаратрисой орбиты неустойчивы; этот случай соответствует полным энергиям, превышающим экстремальное значение Приведенные выше рассуждения отражены на рис. 3.1, а, б.

Рис. 3.2. Нитеооразование в фазовом пространстве из-за нелинейных колебаний.

За эмиттанс частиц примем пучок постоянного тока, который на фазовой плоскости пересекает все фазы ускоряющего поля и имеет разброс по импульсу незначительный в сравнении с разбросом по импульсу, связанным с внешними линиями постоянного гамильтониана в ускорителе. На рис. 3.1, в на кривые постоянного гамильтониана, соответствующие устойчивым орбитам, нанесен эмиттанс с несколько преувеличенным разбросом импульса. Частицы, образующие эмиттанс, входят в ускоритель за время, маленькое в сравнении с периодом фазовых колебаний. Как только они попадают в ускоритель, они могут быть описаны гамильтонианом, соответствующим линейному ускорителю, на фазовой плоскости они колеблются вдоль линий постоянного гамильтониана. Внешние частицы колеблются медленнее внутренних, и графически соответствующие колебания частиц выглядят приблизительно так, как показано на рис. 3.2. Рассматриваем только частицы, лежащие внутри предельного гамильтониана. На рисунке дана зависимость от а не от так как координата сопряжена с импульсом Соответствующие диаграммы показывают эмиттанс центральной области в конце и 1 периода соответственно. В силу теоремы Лиувилля реальная площадь, занимаемая частицами, постоянна. Однако в фазовом пространстве частицы разбросаны, по значительно большей площади.

После ряда колебаний область фазового пространства разбилась на нити в такой степени, что действительное распределение частиц с большой точностью аппроксимируется распределением, найденным в результате вычисления усредненной за период плотности. Этот процесс «нитеобразования» является характеристикой колебаний частиц в негармонической потенциальной яме (см. [6] и [14]).

Эффективную плотность можно определить как плотность, определяемую усреднением за период плотности частиц в фазовом пространстве; этой эффективной плотности соответствует эффективная площадь — площадь, по которой происходит усреднение.

Рис. 3.3. Диаграмма, служащая подтверждением тому, что эффективное или крупнозернистое фазовое пространство эмиттанса растет после резкого изменения гамильтониана.

Нужно отметить, что использование эффективной плотности или эффективной площади эквивалентно использованию крупнозернистого фазового пространства, в котором размер зерен велик по сравнению с нитеобразованием. Аналогичная ситуация встречается в статической механике. Докажем следующую теорему: При любом изменении гамильтониана частицы, которое происходит за время, вначительно меньшее периода фазовых колебаний, эффективная площадь фазового пространства, занятого частицами, должна расти. Начальные кривые постоянного гамильтониана и кривые постоянного гамильтониана после резкого изменения параметров представлены соответственно сплошной и пунктирной линиями на фазовой диаграмме рис. 3.3. Мы хотим доказать, что частицы на после скачкообразного изменения параметров будут ограничивать большую площадь в течение их колебаний, чем они ограничивали до этого. Рассмотрим точку на после резкого изменения параметров точка будет лежать на кривой либо пересекает кривую либо нет. Если она пересекает, тогда существует точка на которая лежит вне После изменения параметров точка будет лежать на кривой (не показана). В силу сказанного

выше Должна полностью лежать вне Процесс повторяется до тех пор, пока не найдется такая точка что кривая нигде не пересекает кривую а касается ее в точке При условии, что кривые постоянного гамильтониана непрерывны, ограничивает либо большую площадь, чем кривая либо ту же. Так как две кривые не могут быть идентичными (по предположении они описывают различные гамильтонианы), то площадь, заключенная внутри кривой больше площади, ограниченной кривой что доказывает теорему. Хотя теорема была доказана для быстрого изменения гамильтониана, может быть дана другая формулировка, в которой первоначальные контуры в фазовом пространстве представляют собой кривые постоянной фазовой плотности, а не кривые постоянного гамильтониана. Если такое начальное распределение затем подвержено гамильтоновым силам, то при условии, что кривые постоянного гамильтониана не совпадают с первоначальными контурами, эффективная плотность фазового пространства уменьшается. Это, как показано в гл. 1, эквивалентно увеличению площади фазового пространства. Именно в этой форме теорема применима к описанному выше процессу нитеобразования.

Из сказанного выше очевидно, что, для того чтобы площадь фазового пространства, в действительности занятая группой частиц, оставалась постоянной после того, как частицы прошли через систему, в которой некоторые параметры гамильтониана меняются скачком, нужно локализовать площадь фазового пространства, занятую этими частицами, внутри эффективной площади. Поэтому мы должны избегать нитеобразования, что означает изохронную систему, в которой частицы вращаются с некоторой угловой скоростью вдоль кривых постоянного гамильтониана. Содержание этого утверждения обсуждено в последующих параграфах.

Как видно, при перемещении группы частиц из одной колебательной системы в другую эффективная площадь фазового пространства, занятого частицами, изменится. Изменение площади эффективного фазового пространства будем называть преобразованием фазовога пространства. Удобно также назвать площадь фазового пространства, занятого частицами первоначально, эмиттансом. Для колебательной системы, представленной кривыми постоянного гамильтониана на рис. 3.1, существует область, ограниченная сепаратрисой, для которой все частицы с начальными координатами внутри, данной области будут совершать устойчивые колебания. Эта область фазового пространства называется аксептансом фазового пространства колебательной системы. Из обсуждения рис. 3.3 ясно, что. если две колебательные системы обладают тождественными кривыми постоянного гамильтониана, то эффективная площадь фазового пространства сохраняется. Это тривиальный случай, в котором две системы тождественны. Однако из сказанного выше также следует, что преобразование, которое изменяет форму эмиттанса одной системы так, что все частицы, лежащие на кривой постоянного гамильтониана одной системы, также лежат на кривой постоянного

гамильтониана другой системы, сохраняет эффективную площадь фазового пространства. Мы уже нашли одно такое преобразование при адиабатическом изменении параметров. Для систем с линейными силами, возвращающими частицы к положению равновесия системы, существует более общий класс преобразований, которые выполняют те же функции (см. § 3.2). Этот общий процесс назовем согласованием в фазовом пространстве [8, 15, 17], или согласованием эмиттанса одной системы с аксептансом другой, причем в этом контексте аксептанс используется для обозначения формы кривых постоянного гамильтониана. Однако не обязательно эмиттансу заполнять аксептанс, наоборот, эмиттанс может быть больше аксептанса.