Изображения и профили пучков в системах с линейными линзами.

Рассмотрим фазовое преобразование системы линза — дрейфовый промежуток

где в качестве независимой переменной взято расстояние вдоль оси линзы. Если мы преобразуем один правильный эллипс в другой с определенным изменением отношения полуосей, как описано в § 3.2, то получим эллипс, как показано на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Преобразование фазового пространства для системы линза—дрейфовый промежуток: до линзы (а), после линзы (б), после дрейфового промежутка (в).

Эллипсы даны до линзы, после линзы и после дрейфового промежутка, где взято произвольное изменение Тонкая заштрихованная область является изображением частиц, которые вылетают из одной точки в центре объекта. Отметим, что изображение не формируется на фазовой плоскости в (см. рис. 3.8), т. е. заштрихованная линия не преобразовалась в другую линию которая является изображением фокуса. В действительности в дрейфовой области отсутствует такая точка, которая является изображением фокуса, что согласуется с обычным понятием оптики, согласно которому объект, расположенный перед линзой, можно сфокусировать только на бесконечности.

Однако для системы дрейфовый промежуток — линза — дрейфовый промежуток может быть получено истинное изображение. Результаты такого преобразования показаны на рис. 3.9. В конфигурационном пространстве начерчено несколько типичных лучей

системы и показано преобразование двумерного фазового пространства для характерных точек вдоль оси. Фазовое пространство отображается как эллипсом, так и прямоугольником, ограничивающим эллипс. Если объект имеет симметричное фазовое пространство, то, как видно, при заданной угловой расходимости правильный эллипс будет иметь место на расстоянии, немного меньшем того, на котором образуется изображение. И, наоборот, если мы рассмотрим в качестве объекта часть фазового пространства, имеющего форму изображения, то, так как лучи обратимы, мы можем прийти к образу, который имеет симметричное распределение. Здесь, хотя мы и получили фокус, плоскость изображения и плоскость наименьшего разброса частиц по координатам не совпадают.

Рис. 3.9. Преобразование фазового пространства для системы дрейфовый промежуток—линза—дрейфовый промежуток.

Положение наименьшего разброса частиц по координатам или максимальной концентрации частиц часто называют перетяжкой, или кроссовером.

Рассмотрим с несколько иной точки зрения соотношение между кроссовером пучка, огибающей пучка и точкой изображения. Огибающая пучка, описываемая эллиптической фазовой границей в дрейфовой области, представлена на рис. 3.10. Запишем уравнение эллипса в дрейфовой области в виде

где в заменен на на х. Все соотношения, выведенные раньше, исходя из понятий импеданса пучка, приложимы к новым координатам. Можно считать, что огибающая пучка состоит из двух частей. Половина ширины кроссовера (правильный эллипс) может быть получена (см. рис. 3.5) через коэффициенты (3.62) и преобразована к параметрам импеданса (3.22), в результате чего, как и на рис. 3.6, получаем

Часть, появляющаяся при преобразовании импульса к разбросу пучка получается из рис. 3.5, б и 3.6:

Огибающая пучка является суммой квадратов двух компонент:

или, если ввести параметры импеданса,

Эти соотношения показаны на рис. 3.10.

Однако соотношения импеданса не достаточны, чтобы определить положение отображения. Это ясно из того факта, что мы описали эллипс двумя параметрами, в то время как для определения положения отдельных частиц необходим третий параметр.

Полезна другая формулировка динамики пучка — непосредственно через огибающую пучка. Эта формулировка развивалась Уэлшем (1963 г.) и другими. Мы можем связать огибающую и ее производную с функциями эллипса Из соотношения (3.65), меняя на т. е. на ее значение в дрейфовой области, лолучаем

использовано определение у из (3.17). Аналогично для производной после некоторых вычислений получаем

Отметим, что второе свойство можно было бы получить непосредственно из рис. 3.5, б. Из (3.67) видно, что функция амплитуды движения, так что для данной группы начальных условий (фиксированное ) величина огибающей выражается непосредственно через Подставляя результаты (3.67) и (3.68) в общее уравнение эллипса (3.62), получаем

где максимальное угловое отклонение, которое с использованием параметров огибающей из (3.67) и (3.68) и определения у из (3.17) может быть выражено

На рис. 3.11 дан фазовый эллипс, записанный через параметры огибающей. Можно найти дифференциальное уравнение для функции огибающей, подставляя (3.70) в (3.69),

Дифференцируя это выражение по

и сокращая на общий множитель, получаем

Для дрейфовой области после упрощений (3.71) принимает вид

это дифференциальное уравнение только для Можно обобщить (3.72) на линейную систему, где уравнение для сил не содержит члены, пропорциональные первым производным.

Рис. 3.10. Связь между огибающей пучка, траекторией луча и параметрами эллипса в дрейфовой области.

Тогда

(уравнение, описывающее квадруполь в линейном приближении) и, подставляя значение в (3.71), мы получаем более общий результат

где взято соответственно для фокусирующих и дефокусирующих линз. Эффект сильной фокусировки, обусловленный при малых третьим членом, препятствует пересечению оси, что физически вытекает из того факта, что

Важным свойством огибающей является то, что она может быть образована из любых двух независимых траекторий, известных как сопряженные траектории. Например, для колебаний частиц в кусочно-линейной системе, о которой говорилось в § 3.2, в качестве сопряженных траекторий можно взять движение двух частиц, которые первоначально находятся в точках дмакс и рмакс правильного эллипса. Эти траектории в действительном пространстве даются уравнениями

и

так что огибающая всех траекторий описывается выражением

Это уравнение всегда верно для независимых траекторий. Мы не будем выводить его для общего случая, но покажем, что оно также действительно для различных типов движения, в частности, для частицы в дрейфовой области.

Рис. 3.11, Фазовый ллипс, представленный через параметры огибающей.

Это можно более отчетливо увидеть, рассматривая параметры косого эллипса на рис. из которых следует

для правильного эллипса с

так что