Свободные колебания в аксиально-симметричных циклических ускорителях.

Рассмотрим аксиально-симметричные магнитные поля, показано на рис. 4.2, а и б. Полюса магнитов на рис. 4.2, а соответствуют циклотрону, на рис. 4.2, б — синхротрону. Равновесная орбита расположена в краевом поле, которое, помимо того,

что удерживает частицы на круговой орбите, фокусирует их в вертикальном направлении. Выведем условие устойчивости орбиты относительно малых возмущений. В цилиндрической системе координат три компоненты векторного уравнения для силы, действующей на частицу, имеют вид

где члены в круглых скобках — компоненты импульса.

Рис. 4.2. Структура магнитов, поля и силы в циклотроне (а) и синхротроне (б).

Условия равновесия можно записать в виде следующего уравнения:

Из цилиндрической симметрии следует, что при таким образом, z-компонента уравнения (4.2) удовлетворяется на средней плоскости Условие равновесия по оси

и, полагая условие равновесия по 0:

Если выберем и вепомним, что где поток, пронизывающий орбиту, то, используя (4,3) и получаем

что является условием на поток, необходимый в бетатроне для плавного ускорения. Условия на устойчивые колебания по можно найти разложением величин в ряды около равновесной орбиты. Преобразуя к как независимой переменной первое из уравнений (4.1) можно записать в виде

где и для малых колебаний (параксиальное приближение) и считаем постоянным. Введем обозначения

и разложим в ряд около

где для равновесной орбиты и азимутальная вариация В. Подставляя эти разложения в (4.6), получаем с точностью до второго порядка по и А В:

где сокращены члены нулевого порядка. Общее решение (4.9) состоит из частного решения (считая члены с правой стороны постоянными)

и решения однородного уравнения

где произвольные постоянные и

Видим, что устойчивые колебательные решения существуют только в том случае, если

Критерий устойчивости в вертикальной плоскости z выводится тем же образом, но с меньшими усилиями. Из третьего уравнения

(4.1) после преобразования его к как независимой переменной и введения параксиального приближения получаем

Предполагая что верно в среднем, считая и подставляя в (4.14), раскладывая около получаем с точностью до членов второго порядка по z

Из уравнения выражаем через и получаем

которое имеет устойчивое решение при

Условие (4.16) вместе с условием устойчивости радиальных колебаний (4.13) дает

т. е. условие устойчивости колебаний в направлениях перпендикулярных направлению движения вдоль Если ввести показатель поля

то уравнения для радиальных и вертикальных колебаний примут вид

и

решения их аналогичны полученным в (3.53) и, будучи выраженными через начальные координаты и начальные производные имеют вид

и

где дают число колебаний за период, удовлетворяя совместному условию устойчивости.

Из выражений (4.20) видно, что бетатронные частоты должны быть велики, чтобы ослабить влияние угловой расходимости на величину амплитуд колебаний. Требования на эти две частоты, однако, взаимно противоречивы. Исследуем этот случай, изучая эллиптическое представление решений, данных в (4.20). Беря производную от (4.20а) и деля ее на получаем

Возводя в квадрат и складывая с квадратом выражения (4.20а), после сокращения смешанных членов получаем обычный эллипс или представление в фазовом пространстве

В частности, аксептанс синхротрона в фазовом пространстве для радиальных бетатронных колебаний можно найти, если положить где расстояние до стенок вакуумной камеры, в результате получаем

Условие сохранения эмиттанса в фазовом пространстве требует, чтобы так как группа частиц с максимальной амплитудой и со всеми фазами бетатронных колебаний будет находиться в фазовой плоскости внутри эллипса с полуосями Из сказанного следует, что эмиттанс, который удается согласовать с аксептансом, наибольший в случае

Это соотношение легко доказать, подставляя выражение, характеризующее сохранение эмиттанса, в (4.21) и находя стационарное значение по отношению к Чтобы удовлетворить соотношению (4.22), эмиттансу нужно придать определенную форму соответствующим преобразованием фазового пространства. Это согласование в фазовом пространстве, о чем речь пойдет в § 4.3, должно быть выполнено одновременно в двух перпендикулярных плоскостях.

Мы видели, что для аксиально-симметричных ускорителей требование устойчивости накладывает на ограничение: должно быть меньше единицы. Далее мы увидим, что для ускорителей с жесткой фокусировкой можно сделать одновременно большими и, таким образом, диаметр пучка можно уменьшить, если эмиттансу придать форму, удовлетворяющую соотношению (4.22). В действительности площадь аксептанса растет с ростом для заданного диаметра пучка.