Сведение 6n-мерного фазового пространства к пространству шести измерений для систем невзаимодействующих частиц.

Мы развиваем теорию фазового пространства, чтобы получить информацию о движении группы частиц. Очевидно, что теорема, касающаяся движения точки системы, отображающей совокупное движение всех ее частиц в -мерном пространстве, не найдет широкого применения до тех пор, пока она не будет связана с движением индивидуальных частиц. Рассмотрим вопрос о сведении -мерного фазового пространства к шестимерному фазовому пространству. Предположим, что взаимодействие между частицами отсутствует, и при этом предположении, интегрируя по координатам и импульсам одной частицы, уменьшим число переменных. Эта техника использовалась, к примеру, Кирвудом [12]. Интеграл от уравнения Лиувилля по координатам одной частицы, которые пробегают значения от 1 до 3, может быть записан следующим образом:

Шестикратное интегрирование выполняется от до для каждой пространственной координаты и импульса частицы. Так как взаимодействие между частицами отсутствует, плотность вероятности всей конфигурации — произведение плотностей вероятности для отдельных частиц в конфигурации и функции только их соответствующих интегрирования выражения (1.79) разобьем распределение плотности на две части, одна из которых — плотность всех частиц, за исключением тех, которые связаны с координатами, а другая часть связана только с координатами. Полное распределение плотности:

Символ означает, что принимает все значения, за исключением трех а аргументы второй части пробегают по трем значениям Возьмем одно слагаемое суммы с и проинтегрируем по частям по координате -частицы

Считаем, что на Границе области интегрирования распределение плотности равно нулю. Если подставить вместо выражения из уравнений Гамильтона, то после сокращений получим следующее выражение:

Если возьмем член суммы для то получим

Аналогичное интегрирование правой части дает члены вида

и

Член сокращается с членом в результате получаем уменьшенное на единицу число измерений. Выполняя интегрирование по трем проекциям координаты частицы, исключаем координату из распределения плотности. Тогда размерность фазового пространства уменьшится на шесть. Повторяя эту процедуру над частицами, сведем нашу систему к системе одной частицы в шестимерном фазовом пространстве. Таким образом, мы записали теорему Лиувилля в фазовом пространстве шести измерений

где функция шести координат (и, возможно, времени), т. е.

— вероятность нахождения одной частицы в некоторой точке шестимерного фазового пространства. Так как предполагается, что все частицы идентичны, можно умножить (1.82) на число частиц чтобы получить распределение плотности частиц. Если положим то получим выражение

которое дает степень изменения плотности в фазовом пространстве со временем. Уравнение (1.84) — уравнение Больцмана для невзаимодействующих частиц, которое мы строго вывели из теоремы Лиувилля. Негамильтоновы члены могут быть вычислены в зависимости от характера участвующих в движении сил, таких, как близкие столкновения с другими сортами частиц, синхротронное или тормозное излучения.

Если правая часть уравнения (1.84) равна нулю, получаем простое соотношение которое подчеркивает важную особенность движения частиц в фазовом пространстве: группа невзаимодействующих частиц, движущихся под действием гамильтоновых сил, ведет себя как несжимаемая жидкость.