Распределение плотности в фазовом пространстве.

В предыдущих параграфах при преобразованиях в фазовом пространстве мы не рассматривали подробно распределение плотности частиц в фазовом пространстве. Если эффективная площадь фазового пространства растет, плотность уменьшается около периферии области фазового пространства. Например, частицы, попадающие в линейный ускоритель, сначала распределены с одинаковой плотностью по всем фазам высокочастотного ускоряющего поля, но из-за их незначительного разброса по энергиям они занимают незначительную часть фазового пространства. Кривая постоянного гамильтониана, по которой частица совершает колебательное движение, зависит почти полностью от входной фазы и, таким образом, количество частиц на каждой кривой постоянного гамильтониана равно. Длины кривых постоянного гамильтониана растут по мере того, как мы удаляемся от положения устойчивой фазы, и, следовательно, эффективная плотность в фазовом пространстве (время усреднено за период колебания) пропорционально уменьшается. В общем случае, если плотность эмиттанса задается функцией эффективная плотность после изменения параметров гамильтониана

где условная вероятность иметь импульс и координату после скачкообразного изменения параметров, если до этого частица имела импульс и координату Оптимальная процедура согласования в фазовом пространстве заключается в том, чтобы

т. е. чтобы максимальное число частиц попало на устойчивые орбиты. Поэтому понятно, что если мы заинтересованы в том, чтобы получить преобразование, которое будет максимизировать интеграл от плотности частиц по данной площади в фазовом пространстве, необходимо рассмотреть преобразование распределения плотности, так

же как и преобразование ограничивающего гамильтониана. Запишем для удобства преобразование (3.1)

где оператор преобразования от начальной плотности частиц к конечной. В общем случае преобразование достаточно сложно. Однако, так как в случае колебательных систем мы интересуемся эффективной площадью фазового пространства, то можно упростить преобразование (3.2), вводя новую переменную которая является радиус-вектором в фазовом пространстве от положения нулевой амплитуды колебаний до кривой постоянного гамильтониана. Определим так, что для

Как мы увидим ниже, такая переменная удобна при усреднении плотности по времени (или фазовому углу колебаний) за один полный период колебаний. Частным типом преобразования, которое удовлетворяет (3.3), например, является преобразование к переменным угол — действие, тогда определяется выражением

с соответствующей угловой переменной

Если мы аппроксимируем кривые постоянного гамильтониана эллипсами, то новым переменным можно дать простую геометрическую интерпретацию с помощью старых переменных:

где отношение осей определяется выражением максимальные значения Уравнения (3.6) эквивалентны (3.4) и (3.5), в чем можно убедиться, записав

Все кривые постоянного гамильтониана в этой координатной системе окружности и где гамильтониан, соответствующий максимуму равному Фазовая плотность выражается через новые переменные обычным образом с помощью якобиана

Интегрируя по переменной которая является также фазой колебания, можно получить плотность как функцию одной переменной Это эквивалентно тому, что в конфигурационном пространстве мы получаем плотность частиц с максимальным разбросом

Мы используем этот формализм в гл. 4 при выводе условий для максимизации числа частиц, инжектируемых в различные типы ускорителей.