§ 2.3. О минимизации увеличения эффективного фазового пространства

Изменение интеграла действия, как показано в § 2.2, непосредственно связано с изменением осевого отношения [см. (2.12)]. Действительно, если вычислить любой член асимптотического разложения, то его значение в любой момент зависит от величины относительного изменения за период в момент времени Для того чтобы наше разложение для любого момента времени между было справедливо до того же порядка разложения, нужно потребовать, чтобы

где малое постоянное число, которое можно отождествить с параметром разложения Подставляя из (2.11), получаем внутри области

Для этой вариации первые производные имеют разрывыа Чтобы использовать асимптотические формулы для вычисления обусловленного действием исходного разрыва, введем временной интервал на конце области изменения. В интервале вариация существенно отличается от вариации (2.50); это позволяет сделать непрерывными первые производные в точке Выберем чтобы выполнялись неравенства из которых следует, что область адиабатическая, но мала по сравнению с полным временем перехода. Используя это предположение, можно вычислить из (2.27) изменение эффективной фазовой площади, обусловленное только исходным разрывом. Получим равенство

которое не зависит от следовательно, подтверждает сделанный выбор параметра разложения. Можно построить область перехода с меньшим взяв первую производную всюду непрерывной, но область перехода, рассмотренная выше, имеет преимущество: она позволяет легко вычислить и для асимптотического метода гарантирует равномерную сходимость ряда. Хотя величины могут изменяться при этом на несколько порядков, как вычислено из асимптотического ряда, зависит только от начальной непрерывной производной и не зависит от интервала перехода

Получим этот же результат, используя метод прямого вычисления (см. § 2.2). Подставив (2.50) в (2.48), получим равенство

которое дает для максимума для всех начальных фаз что согласуется с асимптотическим результатом в первом порядке.

Асимптотическое решение для вариации (2.50) было проверено на основе точного вычисления в случае гармонического осциллятора. Баррен и др. [5] нашли асимптотическое решение, которое дает увеличение эффективной фазовой площади, согласующееся с (2.52). Можно также получить точное решение для системы специального вида, которое удовлетворяет условиям (2.50), однако это решение сохраняет общность, если изменяются по закону

В теории передающих линий системы с такой вариацией обычно называют экспоненциальной линией. Если подставим значения из (2.53) в выражения для и со, то найдем, что

а сравнивая с (2.50), найдем из (2.52), что увеличение эффективной фазовой площади равно

Можно сравнить этот результат с точным решением, так рак решения уравнений (2.5) и (2.6) можно найти (см., например, [3]). Получаем

Индекс обозначает начальные значения Оценим интеграл действия. Используя (2.55) и (2.56), получаем

Предполагая что эквивалентно медленно изменяющейся системе, и максимизируя относительно начальных фаз, получаем максимальное относительное значение (изменение эффективной фазовой площади):

что идентично полученному асимптотическому отношению (2.54).

Точное вычисление, как и метод прямого вычисления (см. § 2.2), дает выражения, отличающиеся от асимптотических членами второго порядка, которые не зависят от начальных и конечных фаз. Эти члены могут быть связаны с различным вычислением действия в постоянной или изменяющейся со временем области.

Теперь сравним асимптотическое значение для области перехода равномерно изменяющегося с асимптотическим значением для перехода, который имеет непрерывную первую производную в точке Для перехода с непрерывной первой производной используем, например, степенной ряд из § 2.2, содержащий нужное число членов. Так как в этом примере меняется только соответствующее уравнение для равномерно меняющегося приводится к виду

где Переписав (2.60), получим в области следующее уравнение: которое имеет решение

где значение при Если потребовать, чтобы при равнялось то из (2.61) найдем

где Для примера из § 2.2 найдем а из (2.52) получим для оптимального скачка первой производной увеличение

Из (2.31) найдем, разложив в степенной ряд при (непрерывная первая производная, скачок во второй производной), которое больше, чем найденное отношение (2.62).

В этом частном случае при переходе с равномерно меняющимся изменение А меньше. Таким образом, построение области перехода с максимальным числом непрерывных производных не гарантирует нахождения минимального фазового пространства даже в области сходимости ряда. Для почти адиабатических систем значение мало для любого разумного параметра вариации. Когда параметры системы становятся все более неадиабатическими, равномерная вариация, которая гарантирует то же число порядков ряда, справедливых во всей области, кажется предпочтительней.