Метод интегралов действия.

Рассмотрим теперь движение в системе отсчета, в которой периодическое движение естественным образом распадается на вращение вокруг силовой линии и колебание вдоль, нее. Ортогональная система координат строится из линий постоянного потенциала V и силовых линий Из (5.47) имеем что в нормированной форме имеет вид

или в цилиндрических координатах

Линии, на которых постоянно, являются линиями постоянного потенциала. Беря градиент V, получаем

Уравнение для линии В найдем из дифференциального уравнения которое после интегрирования дает

или в цилиндрических координатах

Линии силовые линии и, следовательно, представляют собой новый набор ортогональных координат. В нашей нормированной системе единиц на линии потенциал принимает минимальное значение. Линейный элемент в биполярной системе координат задается выражением

Коэффициенты Ламе вычисляют из соотношения где радиус-вектор. Для биполярной системы координат получаем:

Для простоты коэффициенты Ламе представлены как функции X, а X выражается через с помощью уравнений (5.57) и Новый и старый гамильтонианы могут быть связаны посредством производящей функции типа

так что, если мы выберем в виде

то непосредственно определяются из (5.60)

а из

откуда находим, что

Это очевидно с физической точки зрения, поскольку не должно зависеть от системы координат. Итак, гамильтониан приводится к виду

Используя выражение (5.58) и (5.54), получаем потенциал в виде

Отметим, что при потенциал равен нулю, т. е. на линии энергия минимальна. Напишем интеграл действия для движения, перпендикулярного к силовой линии, оставляя постоянным,

Если приблизительно постоянны в течение цикла, то линейный интеграл соответствует фактическому движению частицы в течение цикла, т. е. является адиабатическим интегралом движения. Тем самым мы выбрали систему отсчета, в которой, две степени свободы разделяются в адиабатическом приближении. Из (5.65), в частности, следует, что т. е. импульс функция только так что в средней плоскости

Этот результат используем при сравнении постоянства магнитного момента с постоянством действия Чтобы связать магнитный момент выразим в явном виде. Мы не можем непосредственно оценить интеграл (5.65), поэтому разложим подынтегральное выражение в окрестности точки равновесия в ряд по степеням

так что радиус вращения вокруг силовой линии а где несколько отличается от 1, т. е. от значения а при минимальном потенциале. Драгт [19] провел такие вычисления и, удерживая в разложении члены второго порядка, получил

где предполагается малым; радиус кривизны линий. Подставляя магнитный момент можно выразить через

Рис. 5.6. Значения как функции на последовательных экваториальных сечениях. Орбита характеризуется постоянной Штермера и значением когда Для удобства значения нормированы на единицу в точке

Отличие от возрастает с увеличением энергии (увеличением и отклонением а от 1) и увеличением кривизны силовых линий (уменьшением

Далее, если рассмотреть последовательные сечения экваториальной плоскости, то на каждом сечении а будет иметь разные значения и поэтому величина также будет меняться. Драгт численно построил значения как функции на последовательных сечениях средней плоскости , которые мы воспроизвели на рис. 5.6. Видим, что а по существу постоянно, в то время как сильно меняется с изменением Расчет проведен при некоторых частных значениях Используя полученные численные значения а, было найдено, что вариация рассчитанная по формуле (5.67), находится в хорошем соответствии с численными результатами. Аналогичйые вычисления показывают, что вариация с изменением увеличивается при уменьшении и как и предсказано теорией.

Исследование последовательности сечений средней плоскости показывает, что имеется ряд значений указывающих различные фазы вращения. Все же можно ожидать, что при усреднении будет оставаться приближенно постоянным. Физически это означает, что вследствие кривизны линии мгновенный магнитный момент должен быть различным на обеих сторонах линий, однако в предположении, что все фазы колебания выбраны равными, средний магнитный момент при должен быть равен Величина уже проинтегрирована по периоду вращения и поэтому является средней. Другой путь исследования проблемы состоит в привлечении нашего доказательства адиабатической инвариантности, основанного на теореме Лиувилля. Если считать две степени свободы независимыми, то фазовая площадь, ограниченная замкнутыми фазовыми траекториями, определяется интегралом где считается, что а пробегает все фазы при фиксированном времени. Ограниченная фазовая площадь сохраняется. В случае медленного изменения параметров мы ожидаем, что точки, лежащие на замкнутой орбите, остаются на ней и, следовательно, замкнутые траектории преобразуются опять в замкнутые в каждом сечении (например, в экваториальной плоскости). Эти замкнутые в фазовом пространстве траектории описывают поверхность сечения Пуанкаре, которые довольно полно исследованы топологическими методами [4, 161. Замкнутые орбиты, описывающие поверхности сечения, могут быть найдены аналитически для экваториальной плоскости в предположении, что гамильтониан и постоянны. Подставляя (5.64) и (5.65) в (5.63) при получаем

Подставляя из (5.59) с учетом того, что при имеем

Используя тот факт, что при Драгт получил результаты, показанные на рис. 5.7 для значений параметров, которые использовались в предыдущих вычислениях (см. рис. 5.6). Близкое расположение точек, полученных аналитически и численно, указывает на близость к адиабатическому интегралу. Приблизительная симметрия относительно оси показывает, что среднее значение как и ожидали, примерно постоянно. Смещение равновесной точки от минимума потенциала при обусловлено действием центробежных сил, возникающих вследствие кривизны линии.