Фазовые диаграммы для многомерных систем.

Если система имеет больше одной степени свободы, то и решение ее уравнений движения может быть найдено при условии, если переменные разделяются и гамильтониан постоянен. Вэтом случае каждая степень свободы может быть представлена отдельным движением на своей фазовой плоскости и уравнение по каждой переменной может быть сведено к квадратурам независимо от других переменных. Гамильтониан (1.6) — характерный пример гамильтониана для каждой степени свободы. Если переменные не разделяются, то законченное решение обычно получить невозможно, как и в случае непостоянного гамильтониана. Необходимым, но недостаточным условием того, что переменные можно разделить в некоторой координатной системе, является существование интеграла движения для каждой степени свободы. Известно, что в случае одной степени свободы гамильтониан сам является интегралом движения. Исследуем значение еще одного интеграла движения в случае-, когда имеются две степени свободы.

Рассмотрим задачу о движении частицы в поле центральных сил, о которой мы уже упоминали ранее. Гамильтониан системы (1.9) можно записать в следующем виде:

где значение постоянного углового момента. Как уже отмечалось, эта константа разделяет движение с двумя степенями свободы на два независимых движения, каждое с одной степенью свободы. Это можно непосредственно увидеть из (1.16), определяя эквивалентный потенциал В случае (задача Кеплера: сила обратно пропорциональна квадрату радиуса) два члена потенциала с их суммой или

эквивалентный потенциал представлены на рис. 1.4, а. На рисунке представлены также три значения энергии системы или гамильтонианы соответствующие ограниченному, находящемуся на границе устойчивости, и неограниченному движению. Соответствующие точки фазового пространства показаны на рис. 1.4, б [10]. Как видно, движение здесь соответствует одномерному случаю, представленному на рис. 1.3, за исключением того, что сецаратриса для случая на границе устойчивости замыкается на бесконечности. Движение частицы в -плоскости, соответствующее случаю показано на рис. 1.5.

Рис. 1.4. Эквивалентный одномерный потенциал и соответствующая диаграмма в фазовом пространстве для центральной силы, обратно пропорциональной квадрату радиуса.

Орбита в конфигурационном пространстве не замкнута, так как отношение периодов по и не равно целому числу. Однако проекция движения на -плоскость образует замкнутые петли, что является следствием существования интеграла движения

Рассмотрим теперь более общий случай частицы, движущейся в трехмерном силовом поле. Траектория в фазовом пространстве однозначно определяется шестью начальными значениями координат фазового пространства и временем. Если движение ограничено, могут существовать определенные фазовые плоскости одной пространственной координаты и ее канонического импульса, плоскость неоднократно пересекается траекторией. Эту фазовую плоскость Пуанкаре назвал поверхностью сечения. Примером поверхности «сечения может служить любая -фазовая плоскость при движении в поле центральных сил. Если существует поверхность сечения,

мы можем отметить точки пересечения траектории с плоскостьюг. положения этих точек в общем случае носят случайный характер. Это не дает нам новой информации в дополнение к первоначальному предположению, что движение ограничено. Если существует константа движения, то она может быть использована, чтобы исключить одну из переменных, так что та же картина может быть получена независимо от координаты, соответствующей этой переменной v т. е. для всех значений дополнительной координаты картина проекции движения на плоскость будет той же самой. Например, в случае центральных сил постоянство приводит к тому, что пересечения траектории с -плоскостью не зависят от времени, а постоянство приводит к независимости от 6 пересечений траекторий с фазовой плоскостью Если мы можем таким образом избавиться от всех переменных, путь в оставшейся фазовой плоскости должен образовывать однозначную кривую. Таким образом, существование констант движения может быть определено изучением пересечений траекторий с поверхностью сечения. Как только установлено существование констант движения, гладкие кривые могут быть исследованы на локальную устойчивость и другие особенности. Интеграл движения, известный в механике небесных тел как изолирующий интеграл, выделяет одну степень свободы среди других и обычно уменьшает число переменных на две. Если интегралы движения выбраны так, что являются каноническими импульсами, то они автоматически являются изолирующими интегралами.

Рис. 1.5. Иллюстрация ограниченных орбит, соответствующих гамильтониану на рис. 1.4.

Это видно на примере движения в поле центральных сил, в котором постоянство углового момента обеспечивало независимость гамильтониана от 6 и вело к уменьшению числа степеней свободы на единицу, а переменных — на две. Но если бы мы выбрали прямоугольную систему координат, чтобы описать движение в поле центральных сил, гамильтониан (1.16) принял бы вид

где Вспоминая, что угловой момент сохраняется, мы можем в (1.17) избавиться от одной из переменных (скажем, с помощью выражения и соотношения между прямоугольными и полярными координатами, в результате чего получим

Эта процедура уменьшила число переменных всего лишь на единицу. Так, чтобы выразить интеграл движения, очень важно выбрать соответствующую координатную систему. Преимущественная система координат — система координат угол — действие, в которой в качестве координаты импульса взят интеграл действия, а в качестве координаты положения — функция угла. Часто оказывается, что интегралы действия являются интегралами движения, таким образом удовлетворяя описанному выше критерию для выбора системы координат. К примеру, угловой момент при движении в поле центральных сил является интегралом действия.

Рис. 1.6. Связь между импульсом и длиной волны в геометрической оптике.

Если различные степени свободы отвечают колебательным движениям с достаточно отличающимися периодами, то даже в отсутствие полного разделения координат переменные действия адиабатически постоянны и, таким образом, допускают разделение переменных для каждой степени свободы.