Линейные линзы.

Рассмотрим два основных типа линз: линзы первого типа, которые описываются двумя независимыми координатами, скажем, х и у с их сопряженными импульсами линзы второго типа — цилиндрически симметричные литы с координатами каноническими импульсами Для линз первого типа можно рассмотреть фазовое пространство для каждой степени свободы отдельно, мы назовем их одномерными линзами. Для линз второго типа переменная 9 — циклическая в гамильтониане, таким образом, можно записать все соотношения для линзы через одну переменную положения но — фазовые плоскости, связанные через выражение для

Квадрупольная линза. Наиболее распространенным примером линзы первого типа является квадрупольная линза (см. [18]), которая может быть либо магнитной, либо электрической. Для магнитного квадруполя с гиперболическими полюсными наконечниками поля во внутренней области задаются выражениями

Сила Лоренца в параксиальном приближении

Видим, что компоненты силы пропорциональны постоянным градиентам поля и смещению от оси, поэтому они и являются линейными. Отметим, что на оси поле равно нулю; таким образом, для полей с другой формой, но с той же симметрией разложение поля в ряд Тейлора для области, близкой к оси, дает тот же результат. Уравнение движения вдоль х-направления с силами, задаваемыми выражениями (3.50), имеет вид или, выражая через независимую переменную подставляя получаем

где

Здесь использовано общепринятое обозначение для магнитной жесткости Когда С положительна, также положительно; в этом случае имеем простое гармоническое движение с решением

где определенная ранее переменная угловой расходимости. Видим, что (3.53) после соответствующей замены

переменных идентично с полученным раньше решением (3.30) пары гамильтоновых линейных уравнений. Для этого выбора переменных отношение полуосей и частота, которые сводятся к играют двоякую роль. Это равенство общем случае, как показано в гл. 2, не выполняется для систем с переменными параметрами. Если в (3.53) уменьшим и увеличим так, что в пределе — константа, то получим приближение тонкой линзы для (3.19), которое запишем в виде

где величина, обратная фокусному расстоянию. Покажем соответствие находя дрейфовую длину необходимую, чтобы свести х к нулю для частицы с Умножая (3.54) (для на дрейфовое преобразование

получаем для

с решением для

которое нам дает (3.54).

Для плоскости у соответствующее уравнение движения

с неколебательным решением

что эквивалентно рассеивающей линзе. Таким образом, хотя динамические переменные независимы в каждой фазовой плоскости, силы связаны и процедура оптимизации должна принимать в расчет одновременно оба направления. Если один квадруполь фокусирует только в одной плоскости, пара квадруполей может фокусировать в обеих плоскостях. Из формулы тонкой линзы для фокусного расстояния пары линз имеем

где расстояние между линзами. Если равны и имеют противоположные знаки (одна линза фокусирующая, другая дефокусирующая), то фокусное расстояние пары линз дается выражением

и система из двух линз всегда фокусирующая.

Цилиндрически симметричная линва. Если использовать комплексную переменную

для частицы, двигающейся по спирали в магнитном поле, то уравнения вдоль и -направлений можно объединить (Херманн,. 1958 г.):

где ларморова частота вращения вокруг оси симметрии. Если перейти к координатной системе, вращающейся вокруг оси с ларморовой частотой

и если ввести новую комплексную переменную

то уравнение (3.59) сводится к уравнению гармонического осциллятора

В ларморовой системе координат магнитное поле выступает как центральная притягивающая сила величины — Так как сила центральная, -координата не входит в гамильтониан явно, и канонический угловой момент сохраняется:

Отметим, однако, что как координата х, так и у в одинаковой степени уменьшаются при уменьшении Если в цилиндрической системе обе координаты выбраны с размерностью длины, т. е. -координата задана через то очевидно, что меняется линейно с таким образом, как так и меняются обратно пропорционально сохраняя постоянный соответствующий объем в четырехмерном фазовом пространстве.

Если в (3.60) заменить независимую переменную на то, как и в преобразовании, приводящем к (3.51), получаем

В параксиальном приближении (аксиальная скорость постоянна) константа, матричные преобразования и фокусирующие свойства, описанные для квадрупольных систем, здесь также выполняются. Поэтому оба типа линз можно рассматривать одновременно с точки зрения фазовых эллипсов, помня, однако, об основных различиях.