Адиабатическая инвариантность интеграла действия.

В представленном здесь доказательстве, как и в других доказательствах адиабатической инвариантности, временная зависимость гамильтониана разбивается на две части, одна из которых либо постоянная, либо периодическая с периодом а другая медленно изменяется со временем так что непериодическое изменение гамильтониана мало на протяжении фазового колебания точки системы. Кроме того, предположим, что частота периодической части гамильтониана несоизмерима с частотой фазового колебания, так что в случае отсутствия медленных вариаций, если положение частицы в фазовом пространстве выбрано с интервалами гамильтониан в фазовом пространстве будет описывать замкнутую кривую. Доказательство этой теоремы, аналогичное доказательству [27], приведено ниже.

Пусть функция Гамильтона имеет вид

где и явно зависит от так что для постоянного значения гамильтониан имеет тот же период, что и Предполагается, что медленно меняющаяся функция. Покажем,

что за время, равное периоду колебания, изменение гамильтонианая зависит от начального значения и не зависит от начального момента времени. Дифференцируя по времени, получаем

При подстановке из уравнений Гамильтона первые два члена справа исчезают. Интегрируя от до оставшиеся члены, получаем

Если выбрать интервал так, чтобы то первый член справа будет равен нулю вследствие периодичности Так как X — медленно меняющаяся функция, можно считать, что за время интегрирования. Вынося X за знак интеграла, получаем

где считаем, что Из выражения (2.3) ясно, что если интервал достаточно велик, то процесс усреднения будет давать одинаковый ответ для всех начальных и конечных фаз системы, т. е. для всех значений с данным Мы можем показать это более отчетливо, смещая пределы интегрирования на время имеющее порядок периода фазового колебания. При этом уравнение (2.3) имеет вид

где предполагается, что в течение Далее для второго члена справа в пределе имеем

так что не зависит от Таким образом, все частицы, находящиеся в начальный момент на фазовой кривой постоянного гамильтониана, остаются на кривой постоянного после медленного изменения гамильтониана, несмотря на то, что изменения гамильтониана сами, по себе могут быть очень большими. По теореме Лиувилля площадь фазового пространства, ограниченная кривой постоянного гамильтониана, должна быть постоянной. Тем самым

косвенно доказано, что интеграл действия для колебательных систем постоянен, т. е.

при медленном изменении параметров, что и утверждается в адиабатической теореме. Наше предположение о кратности периоду не ограничивает общности теоремы. Так как рассматриваемый интервал много больше длины периода, его можно разбить на две части: кратную периоду и оставшуюся часть Эта теорема применяется к интервалу а А, можно считать постоянной в интервале

Приведенное здесь доказательство адиабатической инвариантности интеграла действия построено так, чтобы подчеркнуть связь между адиабатической инвариантностью и теоремой Лиувилля. Однако существуют другие доказательства, которые непосредственно демонстрируют адиабатическую инвариантность интеграла действия. Метод фазового интеграла, или метод ВКБ, рассмотренный в § 1.4, дает такое доказательство, применимое для линейных систем, гамильтониан которых постоянен и не содержит медленно меняющегося параметра. Общее доказательство для нелинейных систем впервые дано Бюргерсом и перенесено на системы с периодическим гамильтонианом Саймоном [27] и Стэрроком [26]. В своем доказательстве Саймон предполагает, что в отсутствие медленно меняющихся параметров данный адиабатический инвариант является в действительности точной константой. Для линейных систем, используя теорию линейных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами, можно непосредственно показать, что интеграл действия будет такой константой (см. § 1.4). Для нелинейных систем с периодическим использование теоремы Лиувилля дает наиболее простое доказательство постоянства интеграла действия. Доказательство, данное Бюргерсом, а также Стэрроком, несколько отличается от доказательства, приведенного здесь, но в основном эквивалентно ему. Подробное изложение доказательства Бюргерса можно найти в работе [31].

К сожалению, адиабатическая теорема не дает количественного ответа на то, как медленно должны изменяться параметры, чтобы адиабатическая теорема была справедлива. С физической точки зрения можно полагать, что за время периода относительное изменение параметров будет мало, другими словами, при малом относительном изменении параметров частицы проходят через все фазы колебания. Однако на практике увеличение площади фазового пространства может быть совершенно ничтожным, несмотря на то, что изменение параметров явно не будет удовлетворять условию адиабатичности. В § 2.2 проверено количественно условие адиабатичности для случая линейного осциллятора и вычислено увеличение фазовой площади при почти адиабатическом изменении гамильтониана.