§ 3.2. Линейные преобразования

Введение.

При линейном преобразовании

вектор преобразуется в вектор х с помощью матрицы

элементы которой не зависят от Фазовая траектория линейной системы, зависящей от переменных, т. е. с степенями свободы, подчиняется преобразованию типа (3.9). Рассмотрим более простой случай системы с одной степенью свободы или общий случай системы с независимыми степенями свободы. Такую матрицу всегда можно получить частичной диагонализацией. Тогда матрица сводится к виду

и компоненты вектора х линейно зависят от компонент вектора (каждая компонента вектора х выражается через две компоненты вектора Для гамильтоновой системы уравнения движения для каждой пары независимых компонент вектора имеют следующий вид:

Теперь, если постоянны, то переменные удовлетворяют тому же самому уравнению второго порядка

и эти переменные поэтому можно рассматривать как два отдельных решения для данной степени свободы. И это уравнение имеет два независимых решения, выраженных через функции синуса и косинуса. Как показано в § 1.4, матрица преобразования

имеет определитель, равный 1,

Для любой кусочно-постоянной системы преобразование может быть представлено произведением матриц преобразований с определителем результирующей матрицы, равным единице. Уравнение (3.12), тесно связанное со свойствами сохранения площади фазового пространства, ограниченной траекторией частицы с постоянным гамильтонианом, сокращает число вычисляемых постоянных в преобразовании (3.11) с четырех до трех. Если преобразование обладает дополнительными свойствами симметрии, тогда они могут быть использованы для дальнейшего уменьшения числа констант. В линейных системах удобно работать с двумя типами фазового пространства: с фазовым пространством, ограниченным прямыми линиями, и с фазовым пространством, ограниченным эллипсами. Каждая из этих границ обладает хорошо известными свойствами: а) прямые линии преобразуются в прямые линии; б) эллипсы преобразуются в эллипсы. Проиллюстрируем эти свойства. Для специфического преобразования

с дополнительным условием, что система без трения, т. е. отсутствуют члены с производными первого порядка, из (3.12) получаем

Непосредственным вычислением с использованием соотношения (3.14) получаем следующее обратное преобразование:

Подставляя (3.15) в уравнение прямой линии после некоторых преобразований снова получаем уравнение прямой линии

Поскольку угол наклона зависит только от начального угла наклона и не зависит от начальной точки пересечения, очевидно, что параллельные прямые преобразуются в параллельные. Аналогично для эллипса

который мы сначала запишем в более удобном виде, умножив уравнение эллипса на

и применив преобразование (3.15):

Группируя члены, получаем обычную квадратичную форму косого эллипса

где площадь эллипса, деленная на [Отметим, что значению (как было определено раньше) здесь придается другой смысл.] Из условия отсутствия трения имеем

что можно непосредственно проверить, сравнивая (3.16а) и (3.166) и учитывая условие (3.14). Использование эллипса в качестве границы фазового пространства имеет то преимущество, что форма эллипса может быть однозначно задана двумя числами и фазовой площадью. Один элемент полного преобразования исключается, потому что положения отдельных частиц вдоль эллипса не определены. Эллипс также образует естественную фазовую границу линейной колебательной системы.

Большую роль при решении практических вопросов играют два основных преобразования — преобразование тонкой линзы, которое изменяет наклон траектории пропорционально ее смещению, от оси линзы и имеет вид

и преобразование дрейфового промежутка, которое изменяет положение частицы на величину, пропорциональную значению импульса. Оно имеет вид

Если начальное фазовое пространство задается площадью, ограниченной прямоугольником, как показано на рис. 3.4, а, то (3.18)

преобразует это фазовое пространство в фазовое пространство, показанное на рис. 3.4, б, а (3.19) - в фазовое пространство, показанное на рис. 3.4, в. Отметим, что преобразования (3.18) и (3.19) определяются одним параметром, и в этом случае симметрия границы позволяет определить полное преобразование заданием одной точки, скажем, точки с на рис. 3.4, а. Как только Становится известным положение этой точки на фазовой плоскости на рис. 3.4, б или 3.4, в, точки определяются сразу из условия симметрии.

Рис. 3.4. Область фазового пространства, ограниченная прямоугольником (а), преобразуемая линейной линзой (б) и дрейфовым промежутком (в).

Нужно также отметить, что в случае преобразования (3.18) положение точек, находящихся на оси остается неизменным, как и положение точек на оси при преобразовании (3.19). Эти непреобразующиеся точки облегчают графическое представление преобразования. В случае более общих преобразований, при которых мы не можем использовать свойства симметрии фазового пространства, необходимы самое большее три константы для того, чтобы описать это преобразование. Одну из этих констант можно исключить, используя эллиптические границы.

Метод эллипсов. В случае эллиптических и прямоугольных границ при рассмотрении тонких линз и дрейфовых промежутков применяются одни и те же преобразования. Относительные положения траекторий внутри фазового пространства сразу не очевидны, что вытекает из возможности представить эллиптическое преобразование двумя параметрами в противоположность трем параметрам,

которыми описывается общее преобразование (3.13), вместе с условием постоянства площади фазового пространства, что эквивалентно (3.14). Во многих случаях мы интересуемся только поведением всей площади и, чтобы описать преобразование, используем минимальное число параметров. Для описания эллиптического преобразования наиболее удобным способом исследуем различные представления эллипса.

На рис. 3.5, а и б показаны преобразования эллипса при прохождении через тонкую линзу и дрейфовый промежуток, соответствующие продольным преобразованиям на рис. 3.4, б и в.

Рис. 3.5. Соотношения между параметрами, определяющими косой эллипс (Хирворд, 1959 г.) при прохождении через тонкую линзу (а) и дрейфовый промежуток (б).

Для ясности правильные эллипсы до преобразований нанесены на рисунках с различными полуосями. Полуоси эллипсов, показанные на рисунках, могут быть непосредственно определены из квадратичной формы (3.166)

Пересечение с -осью определяют, полагая что дает или Находя из условия получаем подставляя это значение в (3.166), получаем соответствующее значение Эти значения показаны на рис. 3.5, а. Аналогичным образом для нахождения пересечения эллипса с осью полагаем и получаем а из имеем эти значения показаны на рис. 3.5, б. Все эти соотношения могут быть использованы в случае косого эллипса общего типа, который записан ниже в нормализованных координатах. Таким образом, форма эллипса может

быть найдена независимо от его площади и поэтому ее можно выразить через введенные выше параметры. Например, можно ввести расширенное определение отношения осей, полагая

которое для правильного эллипса (см. рис. 3.5, а) сводится к т. е. к нашему прежнему определению. Затем определяем величину

которая устанавливает связь между максимальным сдвигом по и максимальным значением Аналогично для преобразования, представленного на рис. 3.5, б, вводим

Смысл этих определений можно пояснить, рассматривая, как они меняются при заданном преобразовании. Так, для тонких линз из рис. 3.5, а и выражения (3.18) находим, что X равно при условии, что начальный эллипс правильный. При преобразовании общего типа косого эллипса через тонкую линзу получаем

Для дрейфовой области параметры наиболее удобны, так как преобразование косого эллипса через дрейфовую область дает Как так и могут быть использованы в качестве двух параметров, описывающих форму эллипса. Использование а также удобно еще тем, что они связаны простым соотношением. Запишем сначала

Но из соотношения имеем

Тогда из определения

и аналогично

Если ввести комплексные обозначения

и

то форма эллипса задастся одним комплексным числом, связаны обычной формулой импеданса

Параметры импеданса показаны на фазовом эллипсе общего типа (рис. 3.6).

Техника импеданса, первоначально введенная Хирвордом [6, 7], является мощным аппаратом, так как позволяет довольно схематичную теорию приложить к непосредственному расчету требуемых линз и дрейфовых промежутков для получения желаемых преобразований.

Рис. 3.6. Параметры нормированного эллипса, или параметры импеданса с

Снова к технике импеданса вернемся после того, как, используя матричную технику, введем процедуру согласования в фазовом пространстве. Здесь же только отметим, что в новых обозначениях преобразования, осуществляемые такими линзами и дрейфовыми промежутками, имеют очень простой вид:

Эллипс полностью определяется площадью и либо либо Импеданс, или адмитанс, является параметром, описывающим форму, а площадь является масштабным параметром эллипса.