Гамильтонова форма уравнений движения

Рассмотрим движение частицы, имеющей одну степень свободы. В самой общей форме уравнения движения могут быть записаны следующим образом:

Для большого класса физических систем сила на зависит от импульса а скорость не зависит от координаты Если мы интересуемся колебательным движением около некоторого положения равновесия, возможно дальнейшее упрощение. Если отклонения от положения равновесия достаточно малы, функция может быть разложена в ряд Тейлора около некоторого равновесного значения импульса После этих упрощений (1.3а) принимает вид

где опущен аргумент Сравнивая (1.36) с (1.1), видим, что уравнения (1.36) можно получить из гамильтониана, если определить из соотношений

Интегрируя эти выражения по соответственно получаем:

где и постоянные интегрирования. Так как одна и та же функция в (1.4а) и (1.46), то из этих двух уравнений находим постоянные интегрирования, в результате чего имеем

В этом общем случае не является константой движения, и траектория частицы в фазовом пространстве, т. е. ее путь в q-пространстве, не может быть точно определена независимо от времени. С другой стороны, если неявные функции времени, получаем, что гамильтониан не зависит от времени, а зависит только от начальных координат

Поэтому для заданного значения импульс определенный из уравнения (1.6), не зависит от времени. Если для для имеется осциллирующая система, для которой кривые постоянного гамильтониана замкнуты. Если начальные условия заданы, можно определить максимальные отклонения координаты и импульса частицы от положения равновесия. Для систем с одной степенью свободы, у которых гамильтониан постоянен, можно получить формальное решение уравнений движения. Из второго уравнения системы (1.1)

отсюда, интегрируя, получаем

Так как функция только связаны через (1.6), сводим уравнение движения к квадратурам. Часто квадратуры могут быть определены только численно. В таких случаях ценность полученных выше аналитических выражений уменьшается. Однако информация, полученная из рервого интеграла уравнения движения (1.6), достаточна для многих приложений. В следующем разделе эта ситуация обсуждается более подробно.

Кратко рассмотрим системы с более чем одной степенью свободы. Уравнение (1.7) тогда обобщается:

Если - функция только первое уравнение сводится к квадратурам (т. е. решено) и сходно с предшествующими уравнениями. В общем случае, чтобы получить полное решение, нужно одновременно решить всю систему дифференциальных уравнений. Если в дополнение к гамильтониану существуют другие интегралы движения, тогда число уравнений системы может быть уменьшено.

Проиллюстрируем эту процедуру на простом примере частицы, движущейся в поле центральных сил. Не ограничивая общности, будем рассматривать плоское движение. В полярной системе координат гамильтониан, равный для консервативных систем с голономными связями, имеет вид

где масса частицы; потенциал, соответствующий центральной силе Так как система консервативная, то константа. Уравнения движения, записанные в форме (1.9), принимают вид

Проводя дифференцирование по и исключая с помощью гамильтониана (1.10), получаем

До тех пор, пока не известна явная зависимость от эти уравнения не могут быть решены. Именно здесь оказывается полезным существование еще одного интеграла движения. В нашем случае интеграл движения. Это происходит из-за того, что нет силы по -направлению, и поэтому явно не входит в гамильтониан; следовательно, в откуда следует:

Подставляя (1.12) во второе уравнение (1.11), сводим радиальное и угловое движения к квадратурам.