Метод усреднения.

Теперь покажем, что если система обладает изменяющейся фазой, связанной с одной степенью свободы, причем

изменение фазы происходит намного быстрее изменений во времени всех других величин, то первоначальная система может быть преобразована к укороченной системе, в которой изменения фазы усреднены. Этот метод, развитый Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [14], а позднее изложенный подробнее Н. Н. Боголюбовым и Ю. А. Митропольским [4], очень сходен с методом определения адиабатических инвариантов в системе со многими степенями свободы, о чем речь пойдет в гл. 2.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

где 8 — параметр малости. Выражение (1.143) описывает систему с быстро меняющейся фазой. В случае меняется только фаза, причем с постоянной скоростью со. Для простоты записываем (1.143) в векторной форме

и, раскладывая по степеням

получаем для нулевого порядка разложения по уравнения движения:

Для этого порядка разложения можно рассматривать как константу движения, — как соответствующую угловую переменную, что аналогично гамильтоновой системе с одной степенью свободы, записанной в переменных угол — действие. Однако у в действительности представляет систему с степенями свободы, которая для более высоких степеней разложения меняется со временем. Чтобы исследовать эту зависимость, связанную с членами более высокого порядка разложения, произведем замену переменных:

где усредненное за период значение т. е. флуктуации, возникающие из-за быстро меняющейся фазы, усредняются. Среднее значение вычитается, так что z находится в окрестности у в течение продолжительных периодов времени. Это избавляет

разложение от секулярных членов, которые растут со временем. После подстановки у из (1.144) в (1.147) получаем

где как видно, не зависит от так как — усредненная переменная. Для того чтобы получить значения z приближение за приближением, подставим разложение в преобразование (1.148) и решим уравнение для каждого порядка малости. Так как члены в интегралах умножаются на нужно найти подынтегральные функцйи с точностью на порядок меньше той, с которой мы хотим получить z. Это позволяет продолжить вычисления итерациями. С точностью до второго порядка по принимает вид

дифференцируя его по времени и подставляя выражение для у из (1.144), получаем:

где полные производные по времени от правой части могут быть записаны как частные. Первый член слева уничтожается со вторым членом справа и, выполняя дифференцирование в третьем члене справа, приходим к выражению

которое дает уравнение движения для z с точностью до второго порядка малости, зависящее только от значения константы движения у о (нулевого члена разложения). Быстрые осцилляции по фазе усредняются. Вычисления до более высокого порядка по с использованием этой процедуры становятся утомительными. Н. Н. Боголюбов и Ю. А. Митропольский выполнили вычисления до следующего порядка малости по Усредненные переменные были определены несколько иначе, а именно были выбраны интегралы в (1.147) так, что при Учитывая эти различия, результаты нашего метода усреднения идентичны до первого порядка малости методу Крускала определения адиабатического инварианта системы, которая периодична в нулевом порядке разложения по параметру малости. Метод Крускала разобран в § 2.4. Детальный пример метода усреднения дан в приложении к гл. 5.