Метод асимптотического разложения.

Распространим асимптотический метод вычисления изменений У, использованный Кулсрудом для гармонического осциллятора, на самую общую линейную одномерную систему, в которой два параметра изменяются со временем [18]. Предположим что параметры зависящей от времени системы: а) имеют некоторую неадиабатически меняющуюся производную (скажем, производную порядка); б) производные более низкого порядка изменяются адиабатически; в) допускают асимптотическое разложение переменных, которое сходится по порядку, большему чем всюду на временном интервале изменения параметров. Аппроксимируя неадиабатическую производную производной, имеющей разрыв, можно затем вычислить изменение действия, обусловленное разрывом. Проведено точное вычисление изменения действия для заданной вариации, удовлетворяющей указанным выше условиям и имеющей разрыв в первой производной. Полученное ачение изменения действия совпадает с асимптотическим результатом.

Предположения, сделанные для развития теории, особенно уместны при рассмотрении движения частиц в ускорителе. Параметры, определяющие колебания — в ускорителях, обычно имеют неадиабатическое изменение первой производной или производной некоторого низкого порядка. Это неадиабатическсе изменение можно аппроксимировать разрывом, в котором и вычисляется изменение действия.

Уравнения движения одномерной линейной системы имеют

где зависящая от времени возвращающая сила; - зависящая от времени обратная масса. Комбинируя (2.5). и (2.6), получаем дифференциальное уравнение второго порядка только для

Рассмотрим решение в виде

Для системы с параметрами, постоянными во времени, (2.8) сводится к

с соответствующим импульсом

где

Данный в (2.8) вид решения Для подобен решению, использованному для разработки метода ВКБ в § 1.4. Существенное различие состоит в том, что функция не отождествляется явно с частотой колебаний и тем самым допускает в разложении большую свободу. Такой подход был введен Кулсрудом, следуя ему, мы записали решение в вещественном виде, а не в комплексном, как было сделано в § 1.4. Однако оба вида записи совершенно эквивалентны.

Функция определенная в (2.11), есть не что иное, как отношение Рмаксмакс фазового эллипса, получаемое исключением из (2.9) и (2.10), которое будем называть осевым отношением. В гл. 3 показано, что при резких изменениях в гамильтониане изменение интеграла действия непосредственно связано с изменением и наоборот, можно сразу показать, что интеграл действия является константой, если постоянно. Для этого разделим (2.5) на и получим

откуда видно, что для орбиты эллипсов также остаются постоянными и согласно теореме Лиувилля ограничиваемое фазовое пространство должно быть также постоянным. Частота колебаний может меняться произвольно, причем частицы движутся по орбите с угловой скоростью

В свете этих результатов условие медленного изменения параметров можно выразить как

т. е. относительное изменение осевого отношения за период должно быть малым. Справедливость адиабатического рассмотрения зависит больше от медленности вариации , а не Эти две вариации идентичны в случае гармонического осциллятора с переменной частотой (переменная возвращающая сила и постоянная масса). Такой выбор малости параметра будет более подробно обоснован ниже.

Сделаем замену где малая величина, равная по порядку тогда в новых обозначениях (2.8) запишется как

Разложим в ряд по степеням оставив членов, тогда, как показал Биркгсф [2], выражение (2.14) является асимптотическим решением уравнения (2.7) в том смысле, что для любого

где точное решение уравнения (2.7); функция

Процедура исследования решения заключается в разложении всех величин в ряд по степеням и в предположении, что все уравнения справедливы до любого порядка разложения. Так как асимптотическое решение обычно быстро сходится при малом числе членов ряда, можно получить хорошее приближение к конечному ответу при рассмотрении только нескольких членов. Адиабатическое решение, полученное в последнем параграфе, является фактически решением нулевого порядка разложения. Однако наши разложения корректны только асимптотически и поэтому они могут привести к неверному результату, если удержать слишком много членов разложения. Мы использовали в качестве малого параметра вместо того, чтобы взять как это часто делают, потому что мы желаем установить асимптотическую природу решения. Уравнение (2.7), записанное через новую независимую переменную принимает вид

Здесь и дальше штрих означает дифференцирование по Следуя методу Кулсруда, находим соотношения между подстановкой величины (2.14) и ее производных в (2.15). Поскольку произвольный фазовый множитель, либо синус, либо косинус можно приравнять нулю. Поэтому, чтобы выражение (2.15) всегда имело место, коэффициенты при синусе и косинусе должны быть одновременно равны нулю, что дает

и

Уравнение (2.16) можно сразу проинтегрировать

где а — постоянная интегрирования, непосредственно связанная с интегралом действия. Площадь фазового пространства, ограниченная гамильтонианом осциллирующей частицы, вообще говоря,

определена только для системы с замкнутыми фазовыми траекториями, т. е. для системы с постоянными параметрами. Поэтому будем предполагать, что до и после области изменения имеются области с постоянными параметрами, т. е. изменяются в области а в остальной области постоянны. Тогда площадь фазового пространства можно вычислить до и после временного интервала изменения параметров. Площадь фазового пространства вычисляется через интеграл действия Подставляя сюда величины области постоянства параметров) из (2.9) и (2.10), имеем

С помощью (2.18) получаем интеграл движения

Этот результат, по содержанию идентичный с адиабатической теоремой, корректен только асимптотически, так как (2.14) является асимптотическим решением уравнения (2.7). Это строго справедливо только для Если разложить в ряды по степеням и потребовать, чтобы уравнения были справедливы для любого порядка независимо, то получим, что члены более высокого порядка зависят от более высокого порядка производных Если при некотором производные непрерывны, а производная имеет разрыв, то члены порядка также разрывны при Таким образом, значения а в (2.18) не могут быть одинаковыми для -го порядка на обеих сторонах разрыва. Пусть слева от разрыва. Разложим а в ряд по степеням 1/Т справа от разрыва:

Если разрывна производная, то первый неисчезающий член разложения, который определяет увеличение действия из (2.19а);

Относительное изменение интеграла действия (относительное изменение площади фазового пространства, ограниченного траекторией частицы) определим как отношение

где соответственно моменты времени до и после Теперь вычислим для случая, когда имеется разрыв в производных первого порядка или Это требует применимости асимптотического разложения до первого порядка параметра разложения. После подстановки

и некоторой комбинации членов выражения (2.18) и (2.17) приобретают вид

Раскладывая в ряд по степеням получаем

Если а известно, уравнения (2.22) можно решить относительно для любого порядка по с помощью последовательных приближений, а именно: сначала находим решение в нулевом приближении; пренебрегая в уравнении всеми членами ненулевого порядка, затем используем полученный результат и ищем решение в первом порядке. Повторяя эту процедуру, решим уравнения с точностью до га-го порядка.

Предположим, что некоторая производная функции или имеет разрыв. Так как а — постоянная интегрирования, можно ожидать, что ее значение будут различными по обеим сторонам разрыва. Если обозначить величину а перед разрывом через то после разрыва значение а дается выражением (2.20). Значение а после разрыва определяется из требования непрерывности для любого порядка по Нулевым порядком уравнений (2.22) являются Разрешая эти уравнения относительно получаем

Поскольку непрерывны в точке разрыва, то со и, следовательно, также непрерывны в точке разрыва.

Приравнивая в (2.22) члены первого порядка, получаем

и

Эти уравнения дают для

Где верхние индексы относятся соответственно к начальной и конечной областям. Полученные решения подчиняются граничным условиям

где находят из (2.14) и (2.21):

а

здесь

Если амплитуда осциллятора имеет разрцв (скачкообразный), также должна быть разрывна, чтобы удовлетворить (2.25). Поэтому разложим непосредственно после точки разрыва в ряд по степеням

где перед точкой разрыва. Подставляя в (2.25) разложения функций сохраняя только члены первого порядка и раскладывая синус и косинус в ряд по степеням получаем

и

Члены нулевого порядка одинаковы по обеим сторонам точки разрыва и поэтому сокращаются. Подставляя из (2.24), после некоторых преобразований получаем

где указывает на то, что из начального значения нужно вычесть конечное. Вычисляя в членах из (2.23) и (2.11), получаем для выражение

где и скачки производных (конечное значение минус начальное) в точке разрыва. Для того чтобы получить площадь фазового пространства в первом приближении по можно

разложить в ряд уравнение (2.19). Повторно вводя производную в (2.26) и подставляя полученное выражение в разложение (2.19а), находим относительное изменение фазового интеграла:

Используем в этом случае тождество выражение (2.27) будет эквивалентно выражению, найденному Кулсрудом для случая одного изменяющегося параметра Заметим, что изменение фазового интеграла в первом приближении зависит от скачка первых производных функций Если эти производные не имеют разрыва, фазовое пространство постоянно в первом приближении по Вычисление изменения интеграла действия для с разрывами во второй производной проводится аналогично. Как только получены результаты для величина изменения интеграла действия со скачками в производных более высокого порядка вычисляется по индукции (раздельно для четного и нечетного). Получаем

где величина скачка производной функции в точке разрыва, должны вычисляться в точке разрыва производной.

Предположим, что в начальной области все фазовое пространство, ограниченное траекторией осциллятора, заполнено, тогда в точке разрыва присутствуют все фазы. Определим эффективную фазовую площадь А как площадь, которая ограничена гамильтоновыми кривыми частиц, входящих при всех фазах, тогда эта эффективная фазовая площадь является просто интегралом действия той частицы, которая входит с фазой, максимизирующей Из (2.28) видно что такой фазой будет фаза, в которой После подстановки ее в (2.28) получим относительное увелич ение в эффективной фазовой площади, равног

Заметим, что, хотя связанног с одиночной частицей, может из-за неадиабатической производной либо увеличиваться, либо уменьшаться, А всегда увеличивается.

Во введении к этому параграфу указано, что для медленно меняющихся параметров различие межцу предсказанным адиабатической инвариантностью и действительным изменением незначительное, однако понятие «медленно меняющийся» должно быть определено более тщательно. Например, легко показать, что если начальные постоянны для и если представимы в виде

степенного ряда, то асимптотическое разложение должно расходиться для всех конечных значений параметра разложения. Тогда для определения «медленного изменения» надо вычислить члены асимптотического ряда с тем, чтобы определить, где ряд начинает расходиться. Следует рассматривать только те члены, которые принадлежат сходящейся части ряда.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий ограниченность асимптотического метода. Пусть функция определенная выражением (1.1), изменяется от значения при до значения при Представим функцию в области в виде степенного ряда

Для того чтобы установить эффект скачка в производной функции потребуем, чтобы производных были непрерывны в начале интервала, а производных — непрерывны в конце интервала. Можно сконструировать функцию удовлетворяющую этому требованию, взяв членов степенного ряда. Тогда скачок производной в начале интервала дается формулой [17]

Подставляя (2.30) в (2.28), получаем для относительного увеличения эффективной площади фазового пространства выражение

которое, очевидно, расходится с ростом Рассмотрим численный пример: пусть что имеет место в группирующей секции линейного ускорителя. Тогда

соответственно для Найдем, вычисляя последовательно производные более высокого порядка, что для больше, чем для Этот результат находится в противоречии с интуитивным представлением, что должно приближаться к минимальному значению, так как при добавлении новых членов в ряде для функция становится более гладкой. Трудности появляются из-за того, что результат в (2.31) корректен только асимптотически и после некоторого максимального аппроксимация сильно ухудшается. Итак, асимптотическое разложение можно с успехом применять при вычислении изменения интеграла действия для систем с разрывами (неадиабатическим изменением) в производных достаточно малого порядка. Однако заключение об адиабатической инвариантности любого порядка разложения для

непрерывных систем, которое выеодится из рассмотрения всего ряда, означает только, что является лучшим приближением, которое можно получить с помощью этого метода, и не содержит никакой информации о погрешности, связанной с вычислениями. Кроме того, фактическая величина имеет компоненту, обусловленную изменением которая связана с отклонением асимптотического разложения от точного решения и которой можно пренебречь только в быстро сходящейся части разложения.