Пределы применимости адиабатической теории.

Проиллюстрируем на примере ограниченность адиабатической теории. Рассмотрим движение в двумерной потенциальной яме:

Она отличается от потенциала, соответствующего гармоническим колебаниям при малых х и у, треугольными эквипотенциалями

на краях ямы (рис. 2.1). Гамильтониан частицы, осциллирующей в яме и имеющей полную энергию дается в прямоугольных координатах выражением

где для удобства масса частицы нормирована на единицу. Если меньше предельной потенциальной энергии то частицы будут захвачены ямой. Возьмем теперь частицы с различными начальными условиями и будем наблюдать их фазовые траектории в проекции на плоскость .

Рис. 2.1. Потенциальная яма. Линии постоянного

Получим как бы фазовое сечение, соответствующее заданной полной энергии Рассматривая последовательность таких сечений для разных значений можно определить, существует ли изолирующий интеграл (см. § 1.1). Если последовательные сечения в плоскости дают замкнутые кривые, то движение в плоскости у — у независимо от движения в плоскости В пределе малых колебаний для гармонического потенциала это, конечно, верно и в этом можно убедиться, записав гамильтониан в переменных угол — действие Ягарм где для обычного потенциала равны единице. Если теперь принять во внимание малые возмущения, вызванные негармоническими членами в потенциале (2.102), то

гамильтониан можно записать в виде Уравнения движения, написанные с помощью этого гамильтониана, имеют вид, который допускает применение к ним метода, изложенного в § 2.4. Хотя колебание по одной степени свободы не является медленным по сравнению с другим колебанием, обе степени свободы связаны достаточно слабо, так что отклонение от замкнутой орбиты в одной фазовой плоскости мало, следовательно, критерий адиабатичности выполнен. В этом случае фазовые кривые в сечении оказываются замкнутыми и могут быть найдены либо численным решением связанных уравнений движения, либо вычислением адиабатических инвариантов вплоть до достаточного порядка по Если в разложении взять недостаточное число членов, то кривые, хотя и будут замкнуты, однако не совпадут с численным решением. С другой стороны, если взять слишком много членов, ответ также будет отличаться от правильного решения вследствие асимптотической природы ряда. Макнамара и Вайтман вычислили в нулевом и первом порядке для начальной энергии и при различных начальных условиях. Полученные ими сечения показаны на рис. 2.2. На рис. 2.3 изображены кривые постоянного J, полученные для того же значения численным решением уравнений движения.

Для этого конкретного примера члены высших порядков очень важны и даже изменяют характер решений; в точном решении точки имеют окрестность, в пределах которой ограничено движение частиц, в адиабатическом решении у точек такой окрестности нет. Чтобы получить похожие результаты, Макнамара и Вайтман вынуждены были разложить асимптотический ряд до четвертого порядка по Хенон и Хейлес [11] вычисляли фазовые сечения для более высоких начальных энергий. На рис. 2.4 показано сечение для Из рис. 2.4 видно, что интеграл движения существует, однако не ясно, будет ли асимптотическое разложение сходиться к этой константе. На рис. 2.5 показаны фазовые орбиты для еще более высокой энергии Здесь три типа орбиты: простые замкнутые орбиты, как и в случае более низких энергий, многопетельные орбиты, представленные пятью маленькими петлями, и, по-видимому, эргодические орбиты: беспорядочные точки являются последовательными пересечениями этих орбит с поверхностями сечения. Для этого типа орбит интеграл действия не является «больше адиабатическим инвариантом, и его нельзя оценить из асимптотического разложения. Пока еще нет способа оценивать, когда изолирующий интеграл перестает существовать. Очевидно, что применение итерационного метода вместо асимптотического не прояснит этот вопрос.

Топологические доказательства [21] показали существование изолирующих интегралов в некоторых частных случаях, однако они непригодны в качестве систематического метода для оценки области перехода, когда изолирующий интеграл уже не существует. Мозер показал, что при определенных начальных условиях может быть

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

найдено решение в виде ряда, сходящегося быстрее асимптотического. Существование сходящихся решений ограничивается резонансами между собственными частотами системы. Чем больше возмущающие члены (члены, содержащие ), тем больше области начальных условий, для которых нельзя найти сходящихся решений.

Рис. 2.5. Результату для

Это явление, вероятно, связано с распадом изолирующих интегралов на дискретные области, как нашли численным методом Хенон и Хейлес. Возможно, что для малых возмущений точные изолирующие интегралы не существуют нигде, но они так близко ограничены точными интегралами, что разницы между ними не наблюдается. В любом случае асимптотические разложения для достаточно малых возмущений дают, по-видимому, точные результаты. Ряд вопросов теории приведен и обсуждается в обзорной статье Мозера [22]. Результаты, аналогичные топологическим доказательствам Мозера, получил Де-Вогелаер [8] для магнитного диполя и разработал Драгт [9] (он дал также численный пример). Эти результаты показывают, что при подходящих ограничениях поверхность сечения может быть преобразована в себя при применении уравнений движения. Такое преобразование ограничивает замкнутое фазовое пространство и, очевидно, эквивалентно адиабатическому предположению, которое введено в § 2.1. Драгт тем же способом, что и Хенон и Хейлес, численно проверил ограничения на адиабатическую природу решений. В § 5.2 обсуждена эта работа Драгта и представлены некоторые его результаты. Читателя, интересующегося подробностями, мы отсылаем к оригинальной статье Драгта. В гл. 5 рассмотрено несколько примеров перехода от адиабатического поведения к неадиабатическому, включая некоторые следствия из резонансной связи между модами колебаний.