§ 4.2. Синхротронные и связанные колебания; эффекты излучения и пространственного заряда

Введение.

Обсудим кратко метод ускорения, при котором частица движется синхронно с высокочастотной волной, испытывая, таким образом, действие постоянного поля, в результате чего частица непрерывно ускоряется. Последовательность резонаторов дает тот

же эффект, так как поле может быть разложено в ряд Фурье, гармоники которого представляют волны, движущиеся в обоих направлениях. Только волна, движущаяся синхронно с частицей, оказывает на нее более ощутимое действие; поля, связанные с другими волнами, осциллируют в системе отсчета, связанной с частицей, почти около нулевого среднего значения.

Чтобы высокочастотная ускоряющая система работала, она должна обладать фазовой устойчивостью, т. е. возмущения относительно синхронной фазы должны быть самокорректирующимися. Устойчивость колебаний в линейном ускорителе детально исследовал Слайтер 125]. Фазовую устойчивость в синхротроне еще раньше доказали Мак Миллан [17] и Векслер [34], а позднее с использованием гамильтоновогб формализма изучали Твисс и Франк [33]. Курант, Ливингстон и Снайдер [5] обобщили анализ Твисса и Франка на синхротрон с сильной фокусировкой.

Изложим теорию синхротронных колебаний как в линейных ускорителях, так и в синхротроне. Цель этого изложения — познакомить читателя с основными методами разложения, которые, естественно, ведут к гамильтонову формализму.

Синхротронные колебания в линейных ускорителях.

Рассмотрим ускоряющую структуру, через которую распространяется азимутально-симметричная волна: ускоряющая компонента поля волны зависит от радиуса как модифицированная функция Бесселя в то время как радиальная компонента электрического поля ведет себя как Здесь радиус-вектор от центра ускоряющей структуры (предполагаемой круговой) и у — радиальное волновое число. Первые члены разложения этих функций:

Если предположить, что частица остается около оси , то ускоряющие силы для всех радиусов приблизительно равны, а радиальные силы малы. Таким образом, аппроксимируем продольные уравнения движения, игнорируя радиальную зависимость полей, т. е. рассматривая движение вдоль оси. Тогда уравнение движения для частицы

где мгновенная фаза волны в месте расположения частицы:

максимальное значение поля на оси; скорость волны; положение на оси вдоль ускоряющей структуры.

В момент времени частица находится в точке что соответствует фазе ускоряющего поля Затем она ускоряется полем, и в зависимости от того, больше или меньше ее мгновенная

скорость скорости волны она опережает по фазе бегущую волну или запаздывает. Второе уравнение движения получается дифференцированием (4.57)

которое дает степень изменения фазы частицы по отношению к волне. Уравнения (4.56) и (4.58) дают полное описание движения, когда известны параметры ускорения начальная фаза и скорость частицы. Если либо либо функции времени (расстояние вдоль ускорителя), уравнения могут быть решены только численными методами. Однако если преобразовать уравнения к координатной системе, движущейся вместе с частицей, фаза которой по отношению к волне постоянна, то можно получить приближенно первые интегралы уравнений колебаний.

На рис. 3.14 было показано ускоряющее поле вместе с диаграммой в фазовом пространстве, описывающей колебательное движение. Если предположить, что частица с фазой устойчива, тогда ее ускорение равно степени изменения скорости волны. Частицы, которые по фазе расположены впереди устойчивого положения, испытывают влияние со стороны меньшего поля и ускоряются менее быстро, чем частицы с устойчивой фазой, и, таким образом, перемещаются к положению устойчивой фазы. Аналогично частицы, которые отстают по фазе относительно устойчивого положения, испытывают влияние со стороны более сильного поля, догоняют устойчивые частицы и, таким образом, их фаза перемещается по направлению к устойчивой фазе. В координатной системе, движущейся с волной, эти частицы колеблются около фиксированного положения устойчивой фазы. Другое фиксированное положение — точка, соответствующая значению фазы, равному Значение фазы определяет одну из границ области фазовой устойчивости. Другую границу области фазовой устойчивости определим из гамильтоновой формулировки проблемы. Движение синхронной частицы или частицы с устойчивой фазой дается уравнением"

где считается постоянной в течение колебания. Фаза частицы может быть записана в виде

где отклонение фазы от положения равновесной фазы. Здесь и впоследствии символы с черточкой относятся к величинам, измеренным по отношению к движущейся системе, начало которой расположено в точке устойчивой фазы. В случаях, не допускающих двоякого толкования, черточки могут быть опущены. Если разбить импульс на две части

то в обозначениях уравнение движения в движущейся системе есть

Уравнение, описывающее изменение фазы, имеет следующий вид:

где производная по равна нулю по определению. Выразим через раскладывая в ряд пр в первом порядке получаем

где вычисляется в точке из релятивистского соотношения между

здесь Выполняя дифференцирование, получаем соотношение

которое известно как выражение продольной массы ускоряемой частицы. Подставляя (4.62) в (4.61), получаем соотношение между возмущением скорости и возмущением импульса вдоль направления движения:

С помощью (4.63) исключим из (4.60) и получим

Уравнения (4.59) и (4.64) — дифференциальные уравнения первого порядка, описывающие колебательное движение. Они могут быть представлены в канонической форме [удовлетворяя выражению (1.1)] введением переменной расстояния посредством соотношения

Подставляя (4.65) в (4.64) и исключая время, как в § 1.1, получаем гамильтониан колебательного движения

Если считать не зависящими от времени величинами, то не зависящий от времени гамильтониан и его значение определяется подстановкой начальных значений возмущения в (4.66). Два члена в правой части (4.66) — члены кинетической и потенциальной энергии соответственно. Каждому набору

начальных условий соответствует в фазовом пространстве кривая постоянного гамильтониана. Связь между этими гамильтонианами и ускоряющим полем показан? на рис. 3.14. Рис. 3.14, б отображает потенциальный член гамильтониана; на график потенциальной энергии нанесены линии постоянного гамильтониана (а также постоянной полной энергии). Если полная энергия меньше потенциальной в точке то гамильтониан описывает устойчивое движение внутри потенциальной ямы. Кроме того, показаны предельный гамильтониан и гамильтониан, соответствующий неустойчивому движению. Изображенный устойчивый гамильтониан лежит в области почти квадратичного потенциала; поэтому кривая в фазовом пространстве близка к эллипсу и частицы, колеблющиеся в этом почти гармоническом потенциале, изохронны, т. е. имеют идентичные частоты. Сила, направленная к положению равновесия, ослабляется в направлении края области устойчивости и период колебания соответственно удлиняется. На предельной кривой направленная к равновесию сила в одной точке вдоль пути частицы равна нулю и период колебания бесконечен. Все частицы на данной кривой постоянного гамильтониана имеют один и тот же период, хотя изменение фазы не постоянно вдоль траектории. Когда начальная энергия больше той, при которой частица может быть захвачена, она не будет представлять замкнутую кривую в фазовом пространстве, как показано с помощью третьего гамильтониана.

Мы уже нашли одну границу области фазовой устойчивости в точке Все частицы, начальная энергия которых такова, что они лежат на предельном гамильтониане, — частицы с предельной устойчивостью. Траектория в фазовом пространстве может быть найдена, если ввести в гамильтониан начальную фазу Если при этих начальных условиях положим в то другая граница области фазовой устойчивости находится из выражения

Если допустить, что параметры медленно изменяются со временем, то для канонических переменных интеграл действия

что следует из адиабатической теоремы. Вычисляя интеграл действия в линейной области, можно найти хорошее приближение к поведению частицы. Раскладывая правую часть (4.59) и подставляя из (4.65), получаем с точностью до второго порядка по z

Подставляя вместо выражение из (4.63) и замечая, что получаем уравнение гармонического осциллятора

имеющего решение

где

в течение колебания считаются постоянными. Как в (1.15), вычисляем интеграл действия

который дает

В обозначениях фазы, комбинируя (4.70) с (4.65), имеем

Аналогичным образом получаем изменение импульса