Синхротронные колебания в синхротронах.

В синхротроне частицы совершают бетатронные колебания около замкнутых орбит, удовлетворяющих в силу азимутальной симметрии ускорителей соотношению

в любой момент времени. Здесь радиус кривизны; импульс вдоль орбиты, который, как считается, растет со временем. Если также растет со временем в определенной пропорции, будет оставаться постоянным. Для определенной же степени изменения чтобы поддерживать постоянным, необходима вполне определенная фаза высокочастотной волны, и равновесное движение, связанное с синхронным ускорением, будет осуществляться на орбите, удовлетворяющей соотношению

Отклонение синхронной частицы от этой равновесной орбиты, вызванное ускоряющими полями, ведет к устойчивым колебаниям. Эти колебания медленные в сравнении с бетатронными колебаниями и поэтому с позиции адиабатической теории могут рассматриваться отдельно.

Запишем скорость изменения канонического импульса

где член с правой стороны — момент, обусловленный высокочастотным ускоряющим полем с полное напряжение, проинтегрированное по периметру ускорителя в момент, когда напряжение на отдельном резонаторе имеет фазу считается, что оно добавляет к полной энергии частицы небольшую порцию энергии; полный поток, пронизывающий орбиту, входит в канонический момент. Предполагая, что отклонения от орбиты устойчивой фазы малы, разложим поток, ограниченный орбитой, в ряд по и оставим только члены первого порядка по

где, как и прежде, сокращены члены нулевого порядка по и Вычисляя из соотношения

где постоянно на главной орбите или на орбите с устойчивой фазой, второй и третий члены (4.76) сокращаются, что приводит к линеаризованному уравнению движения

которое по форме идентично уравнению движения в линейном ускорителе и едино как для ускорителей с переменными градиентами, так и для ускорителей с азимутальной симметрией. Нужно отметить, что (4.77) не действительно в случае, когда изменяется вдоль орбиты с устойчивой фазой, что исключает из рассмотрения ускорители с постоянным магнитным полем и переменными градиентами.

В дополнение к (4.78) необходимо второе уравнение, чтобы связать степень изменения фазы с отклонением импульса. Раскладывая в ряд с точностью до членов второго порядка малости мгновенную угловую скорость частицы, получаем

Если приложенная частота которая, как мы предполагаем, является гармоникой синхронной орбитальной частоты то фаза частицы по отношению к высокочастотному полю есть

где неколебательная фаза. Дифференцируя (4.80) по времени и подставляя вместо выражение (4.79), получаем

выражаются через в результате чего получаем связь между скоростью изменения фазы и импульса. Первое из этих соотношений для линейного ускорителя

Учитывая ограничение ищем вторую пропорциональность вида

где а — параметр, характеризующий ускоритель. Для азимутально-симметричного ускорителя параметр а можно легко определить, раскладывая (4.73) около равновесных значений, в результате чего получаем

где, как и раньше, деля это выражение на (4.74), получаем

которое дает значение а ускорителя с постоянным градиентом магнитного поля. Для машин с переменными градиентами параметр а имеет более сложный вид, но в § 4.1 при рассмотрении вынужденных бетатронных колебаний показано, что [см. уравнение (4.43)]

где частота бетатронных колебаний. Из (4.84) видно, что для азимутально-симметричного ускорителя (4.85) — точное выражение.

Подставляя (4.82) и (4.83) в (4.81), получаем требуемое уравнение скорости изменения фазы

где

Уравнения (4.78) и (4.86) — дифференциальные уравнения первого порядка относительно которые по виду напоминают уравнения (4.59) и (4.62) для линейного ускорителя. Поэтому первый интеграл уравнений движения может быть получен аналогично случаю линейного ускорителя. Для знак тот же, что и для случая линейного ускорителя, и устойчивая фаза расположена на переднем фронте волны. Для устойчивая фаза расположена на заднем фронте волны. Физически последний случай соответствует ситуации, в которой увеличивающийся импульс увеличивает равновесный радиус в такой степени, что частица вопреки увеличению скорости затрачиваег больше времени на прохождение ускорителя. Для очень больших энергий т. е. изменение импульса соответствует небольшим увеличениям в скорости, и поэтому

должна быть положительной. Для магнита с постоянным градиентом для устойчивости должно выполняться соотношение поэтому при всех энергиях. В машинах с переменными градиентами а обычно много меньше единицы, и существует критическая энергия, при которой точка фазовой устойчивости перемещается с переднего фронта волны на задний.

Как было в уравнениях (4.59) и (4.64) для линейного ускорителя, выражения (4.78) и (4.86) не записаны в гамильтоновой форме, в них неканонические переменные. Вводя переменного расстояния вдоль орбиты при помощи соотношения где и подставляя вместо получаем гамильтоновы уравнения:

Как и в предыдущем пункте, получаем гамильтониан

или, вводя фазу

Для маленьких отклонений относительно равновесной фазы частота синхротронных колебаний не зависит от амплитуды. Чтобы определить эту частоту, как и в случае колебаний в линейном ускорителе, линеаризуем (4.87) и, подставляя вместо выражение его из (4.88), получаем уравнение второго порядка

где частота синхротронных колебаний, задаваемая выражением

Можно сравнить величины частот синхротронных и бетатронных колебаний, замечая, что дается приблизительно (для ультрарелятивистского случая ) выражением

где подставлено вместо Сравнивая с приблизительным соотношением для бетатронных колебаний получаем

здесь прирост энергии за один оборот; полная энергия; соотношение между частотой высокочастотного поля и орбитальной частотой; число бетатронных колебаний за период. Для машин с цилиндрической симметрией, работающих на первой гармонике, таким образом, что является маленьким числом. Для больших ускорителей с сильной фокусировкой может быть большим числом, но этот фактор будет, вообще говоря, в еще большей степени компенсироваться величиной в знаменателе, обеспечивая, таким образом, адиабатическую связь между двумя частотами.

Можно также использовать линеаризованные уравнения, чтобы определить изменение амплитуды колебаний и импульса при медленном изменении параметров. Вычисляя интеграл действия, как и в (4.69), находим, что меняется как

пропорционально Как и в случае линейного ускорителя, уменьшается с ростом энергии, колебания по затухают, а по нарастают.

В (4.89а) получен гамильтониан для колебательной части движения частицы, ускоряемой высокочастотной волной. В качестве канонических переменных для этого уравнения были выбраны отклонение импульса от импульса устойчивой фазы и отклонения положения Однако переписывая гамильтониан (4.896), используя высокочастотную фазу вместо переменной приходим к более естественным переменным, с помощью которых можно описать систему. Простой, в общем случае неканонический вариант (4.896) можно найти, используя переменную

которая получается из разложения с точностью до членов второго порядка малости. Так как в первом порядке дается выражением

то при условии, что не изменяются со временем, сопряженные переменные, описывающие небольшие колебания импульса около положения, соответствующего устойчивой фазе. Обычно изменяется со временем, но если определить как то снова можно вернуться к каноническим переменным. имеет размерность действия, но хотя и канонические, не являются переменными угол—действие, служащими для описания синхротронных колебаний, так как не является частотой, связанной с этими колебаниями. Записанное в этих переменных (4.896) принимает вид

где член в скобках (4.89б). Используя (4.86а) и тот факт, что можно показать, что

где использованы скорее инфинитезимальные, чем -изменения. Подставляя это выражение в (4.92), получаем

Эта форма гамильтониана использована в работах [21, 31], она очень удобна для описания синхротронов с постоянным магнитным полем и переменными градиентами, в которых более существенны изменения параметров с энергией, чем со временем. Здесь мы не изучаем подробно эти ускорители