Законы сохранения в фазовом пространстве.

Гамильтонов формализм позволяет получить значительную информацию о движении группы частиц и в том случае, когда неизвестен путь как функция независимой переменной. В частности, если известна начальная энергия системы с одной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени, то из (1.6) видно, что можно определить импульс как функцию координаты, причем он оказывается не зависящим от времени. Начальные значения определяют начальную энергию, которая как раз и является гамильтонианом в (1.6).

Поясним сказанное на простом примере нелинейной пружины. Уравнения движения даны в форме (1.36) и имеют следующий вид:

где из (1.36) — константа, обратно пропорциональная массе, а сила не зависит от времени. Выполняя интегрирование, как и в (1.4), получаем не зависящий от времени гамильтониан:

Коэффициент а выбран положительным с тем, чтобы при небольших сила была возвращающей. В случае возвращающая сила уменьшается с ростом амплитуды, что ведет к тому, что для больших амплитуд система перестает быть устойчивой. Рассмотрим случай изобразим графически зависимость потенциальной энергии от положения частицы и соответствующие точки на фазовой плоскости для нескольких начальных значений гамильтониана (рис. 1.3, а, б). Начальные значения гамильтониана соответствуют полной энергии системы (кинетической и потенциальной). Если значение гамильтониана больше максимального значения потенциальной энергии то импульс всегда отличен от нуля; это ведет к тому, что для гамильтониана (см. рис. 1.3) движение слева направо будет неограниченным. Для начальных амплитуд, расположенных внутри потенциальной ямы, значения начальной полной энергии отвечают соответственно устойчивому движению и границе устойчивого движения. Предельная траектория, на которой период колебаний становится бесконечным, называется сепаратрисой.

Рис. 1.3. Соответствие между диаграммой энергии (a) и диаграммой в фазовом пространстве (б) для нелинейного осциллятора.

Если гамильтониан — функция времени, то, как мы уже отмечали, координата и импульс частиц уже не связаны единственно возможным образом, а включают также время. Однако можно найти

такую величину, связанную с рассматриваемой системой, которая не зависит от времени. Если определить плотность или совокупность возможных начальных состояний системы (возможных начальных значений координат в фазовом пространстве), то для движения, подчиняющегося уравнениям Гамильтона, плотность этих состояний системы останется постоянной вдоль траектории в фазовом пространстве. В § 1.3 определены более точно основные понятия и доказана соответствующая теорема. Смысл ее заключается в следующем. Для системы, состоящей из частиц и имеющей степеней свободы, плотность измеряется в -мерном фазовом пространстве. Содержание, теоремы упрощается при рассмотрении систем невзаимодействующих частиц. Чтобы получить -мерную плотность возможных начальных условий одной частицы, проинтегрируем по координатам всех, кроме одной, частиц в фазовом пространстве. Однако если принять, чтовсе частицы тождественны, то введенное таким образом распределение плотности идентично действительному распределению начальных значений координат самих частиц в фазовом пространстве. Теорема утверждает, что если двигаться вдоль траектории частицы, то в ее окрестности плотность частиц остается постоянной, другими словами, фазовое пространство, занятое частицами, ведет себя как несжимаемая жидкость в -мерном пространстве. Так как число частиц остается неизменным, теорема также подразумевает сохранение фазового объема. Хотя теорема носит слишком общий характер, чтобы ею можно было непосредственно воспользоваться при решении проблем динамики частиц, однако она тесно связана с первым интегралом движения в динамических системах. Обсудим эту связь сначала для систем с одной степенью свободы, а затем для систем с более чем одной степенью свободы.

Для системы с одной степенью свободы площадь фазового пространства, ограниченного траекторией осциллирующей частицы, дается выражением

Множество частиц, которое для заданного значения гамильтониана имеет набор всех значений занимает вполне определенное замкнутое фазовое пространство. Если теперь гамильтониан меняется со временем, площадь фазового пространства, занятая этим множеством частиц, остается постоянной в силу теоремы Лиувилля. В общем случае, однако, частицы пересекают большую площадь в фазовом пространстве, чем их начальная площадь. Любая частица осциллирует вдоль гамильтоновой кривой, которая ограничивает область, отличающуюся от той, - которую она ограничивала до изменения гамильтониана. Однако если гамильтониан частицы изменяется достаточно медленно, то выражение (1.13), известное как интеграл действияприблизительно сохраняется. Один из методов доказательства этой теоремы использует ее связь с теоремой Лиувилля. Рассмотрим систему, гамильтониан которой первоначально

постоянен, потом в течение некоторого промежутка времени меняется и затем снова постоянен. Первоначально кривая постоянного гамильтониана для осциллирующей системы определяет замкнутую область фазового пространства. Если после изменения параметров первоначальная кривая постоянного гамильтониана переходит в другую кривую постоянного гамильтониана, то площадь, ограниченная этой кривой, остается без изменения. Это утверждение сразу становится очевидным, если мы вспомним, что точка в фазовом пространстве однозначно определяет траекторию в фазовом/пространстве. Поэтому фазовые точки не могут пересечь границу фазового пространства, так как любая точка, достигающая границы, имеет ту же траекторию, что и граничная точка. Из теоремы Лиувилля следует, что площадь, ограниченная первоначальной орбитой, сохраняется, если начальная и конечная орбиты образованы из одного и того же множества точек фазового пространства, поэтому площади, ограниченные начальной и конечной орбитами, должны быть тождественными, следовательно, чтобы доказать адиабатическую теорему, достаточно доказать, что все частицы, лежащие на кривой постоянного гамильтониана в начальной области, остаются на кривой постоянного гамильтониана и в конечной области.

Можно непосредственно показать, что является адиабатическим инвариантом движения. Само доказательство тесно связано с фазовым интегралом, или ВКБ-методом (Вентцель, Крамере, Бриллюэн), которого мы коснемся кратко далее. Гл. 2 посвящена систематическому изложению теории адиабатического постоянства интеграла действия и области ее применимости.

Проиллюстрируем действие теоремы об адиабатическом сохранении площади в фазовом пространстве для систем с одной степенью свободы на примере гармонического осциллятора. Этот пример заслуживает внимания, так как осциллятор с одной степенью свободы имеет небольшие области линейных амплитуд. Сначала рассмотрим уравнение движения гармонического осциллятора с постоянными параметрами (постоянной частотой): решение которого есть отсюда импульс определяется выражением

Тогда площадь фазового пространства, или интеграл действия, запишется в виде

где полная энергия осциллятора. Если принять, что со медленно изменяется от для одной системы до для другой, и если считать, что в силу адиабатической теоремы —

константа, то можно найти изменение амплитуды и энергии осциллятора, т. е.

Преимущество рассмотрения динамических систем с позиций фазового пространства не ограничено системами, в которых гамильтониан постоянен или медленно изменяется. Этот подход можно с успехом использовать при анализе систем, состоящих из подсистем, гамильтониан которых либо постоянен, либо медленно изменяется, связанных элементами, в которых гамильтониан изменяется быстро в сравнении с периодом колебания частицы. В таких случаях область фазового пространства, занятая реальными частицами (часто называемая эмиттансом), в одной части системы может быть сопоставлена с допустимой областью фазового пространства другой части системы (известной как аксептанс). В гл. 3 показано, что область фазового пространства, ограниченная гамильтоновыми кривыми частиц, может быть минимизирована, если согласовать форму эмиттанса и аксептанса.