Затухание амплитуды колебаний, обусловленное радиационными потерями.

В дополнение к адиабатическому затуханию бетатронных и синхротронных колебаний в синхротроне колебания затухают в силу радиационных потерь, как ожидалось из обсуждения негамильтоновых эффектов в § 1.2. Цель этого параграфа проиллюстрировать приложение общей теории негамильтоновых сил к специфическому случаю — классическому излучению. Убедимся, что общая теория должна применяться с большой осторожностью. Результаты этого параграфа будут использованы при изучении проблемы многооборотной инжекции в синхротрон в § 4.6.

Полная интенсивность, излучаемая электроном, движущимся по круговой орбите, определяется выражением, данным Швингером [24],

где полная энергия; В — магнитное поле. Тогда энергия уменьшается как

Так что

где Если для поддержания импульса прикладывается ускоряющее поле, то амплитуда вертикальных бетатронных колебаний будет затухать со временем, причем декремент затухания пропорционален так как поперечный импульс уменьшается с этой скоростью, в то время как импульс вдоль пути частицы постоянен. Однако для радиальных бетатронных колебаний или синхротронных колебаний ситуация несколько иная. Для радиальных бетатронных колебаний или синхротронных колебаний в дополнение к затуханию, возникающему из-за повсеместных радиационных потерь, имеются члены, включающие изменение излученной энергии с изменением радиуса. Исследуем затухание, следуя анализу [23].

Полное изложение радиационного затухания может быть найдено в книге [12].

Общим методом, которым мы пользовались для описания колебаний частиц в циклическом ускорителе, является определение небольших отклонений от главной орбиты. Если все колебания линейны, то можно описать движение с помощью нормальных колебаний, а именно тремя нормальными колебаниями, описывающими три степени свободы. Эти нормальные колебания не будут прямо соответствовать бетатронным и синхротронным колебаниям, как описывалось раньше, из-за связи между радиальными бетатронными колебаниями и синхротронными колебаниями. Однако, предполагая, что скорость изменения параметров вынужденных колебаний мала в сравнении с частотой свободных колебаний, можно считать, что нормальные колебания адиабатически соответствуют описанным выше колебаниям. В силу этого предположения матрица преобразования шестого порядка, связывающая начальные значения параметров с конечными значениями, диагонализируется в три отдельные 2X2 матрицы с определителем, равным единице.

Если ввести излучение, то члены матрицы примут слегка отличающиеся значения и определитель будет незначительно отличаться от единицы. Если предположить, что с точностью до членов второго порядка малости каждая отдельная квадратичная матрица преобразования второго порядка отличается от единицы на небольшую величину то с этой точностью определитель квадратичной матрицы шестого порядка, который является произведением трех определителей, дается выражением

где определитель матрицы безучета радиационного затухания равен единице. Если принять, что переменные описывают бетатронные колебания, а синхротронные, то можно ожидать, что в первом порядке излучение изменит скорость, координаты же останутся прежними. Диагональный член в может быть определен из характеристики потерь на излучение или выражен через потерю энергии за один оборот

Из матричных элементов для видно, что при потерях на Излучение за оборот изменяется за один оборот на величину где таким образом, диагональный член в матричном элементе, связывающем отклонение энергии после оборота с энергией до оборота, есть

где положительная величина. Так как все компоненты импульса в одинаковой степени подвержены излучению, переменные для свободных колебаний, которые пропорциональны импульсу, не подвержены действию излучения.

Если теперь ввести высокочастотное ускорение, то появятся дополнительные члены, дающие вклад в затухание. Прирост энергии не зависит от таким образом, не дает вклада в матричный элемент, связывающий начальное и конечное значения Однако увеличение энергии уменьшает угловую расходимость. Это можно увидеть на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Диаграмма, иллюстрирующая радиационное затухание в синхротроне.

Тогда для из рисунка мы имеем соотношение

Исключая и 6, получаем

так что диагональный члед для х становится равным и аналогично для Определитель преобразования после суммирования всех трех компонент есть

и произведение собственных значений дается, как и в § 1.4, выражением

где затухающие члены для трех комплексно сопряженных собственных значений. Как показано в § 1.4, мнимая часть равна единице, и из разложения экспонент в ряд для получаем общее выражение для суммы констант затухания:

Рассмотрим частный случай, в котором высокочастотное ускорение компенсирует потерю энергии на излучение, т. е. тогда затухание для трех мод

Мы пришли к важному выводу, что сумма констант затухания не зависит от формы ведущего поля, а зависит только от потерь за один оборот. Если выразить через величины, обратно пропорциональные временным константам, то имеем:

Теперь получим скорость затухания отдельных мод колебаний. Вертикальные колебания не зависят от радиального движения и поэтому определяются своим собственным матричным элементом

или, если записать через время, считая

Затухание для синхротронных колебаний получается из дифференциального уравнения для включающего затухающий член. Из (4.101) имеем:

Исключим используя коэффициент расширения орбиты

исключим, учитывая тот факт, что равновесная орбита должна быть замкнутой, тогда с точностью до членов второго порядка малости

Подставляя (4.108) и (4.109) в (4.107), получаем для потери энергии, обусловленной излучением,

Вводя прирост энергии

складывая (4.110) и (4.111) и дифференцируя по получаем

Исключаем используя (4.86а) (с заменой переменных и и получаем дифференциальное уравнение второго порядка для

которое обладает коэффициентом затухания, определяемым вторым членом

или, если записать через время релаксации,

Окончательно радиальное бетатронное затухание определится, если мы из полного затухания вычтем затухание, обусловленное вертикальными бетатронными колебаниями и синхротронными колебаниями:

или

Мы приходим к странному результату, а именно: для маленьких а (случай, существующий в синхротронах с переменными градиентами) радиальные бетатронные колебания раскачиваются. Физически это объясняется тем, что дополнительная кривизна, обусловленная колебаниями, увеличивает кривизну на большем радиусе (вне равновесной орбиты), при этом также увеличивается излучение. Излучение смещает эффективную равновесную орбиту внутрь, таким образом, увеличивая радиальное отклонение частицы от равновесной орбиты и, следовательно, увеличивая амплитуду колебаний. Именно в машинах с сильной фокусировкой и короткой длиной волны бетатронных колебаний проявляется этот эффект.

Для азимутально-симметричных ускорителей с постоянным градиентом результаты, полученные в (4.106), (4.114) и (4.113), следующие:

Затухание бетатронных колебаний в этой форме было первоначально опубликовано Хенри [9]. Результаты в случае синхронных колебаний для азимутально-симметричных ускорителей были первоначально выведены Бомом и Фолди [1]. Мы применим эту запись уравнений в § 4.6 при обсуждении многооборотной инжекции, использующей радиационное затухание.