§ 1.3. Сохранение фазового объема

Введение.

Ранее было показано, что для систем с одной степенью свободы, удовлетворяющих уравнениям Гамильтона, площадь фазового пространства, пронизываемого траекториями частиц, от времени не зависит.. Эта теорема с помощью сходного доказательства может быть распространена на многомерный фазовый объем (см., например, [1]). Подойдем к этой проблеме несколько иным путем, используя понятия статистической механики. Распространим доказательство на системы, которые включают негамильтоновы силы, т. е. силы, не имеющие потенциальной функции. Хотя большинство последующих рассмотрений будет ограничено гамильтоновыми системами, но из рассмотрения более общего случая можно получить определенные интересные выводы.

Теорема Лиувилля.

Если включить непотенциальные силы, то уравнения Гамильтона (1.1) могут быть обобщены следующим образом:

где непотенциальные силы. Как и раньше, пробегают значений, соответствующих степеням свободы системы, которая для определенности может быть рассмотрена как состоящая из частиц.

Опишем движение группы частиц через движение одной точки, представляющей частную конфигурацию всех частиц системы в -мерном фазовом пространстве. Если бы были точно известны начальные условия, то уравнения Гамильтона задавали бы в -мерном

пространстве траекторию точки, описывающей. движение системы. Однако начальные условия не могут быть точно заданы, поэтому рассмотрим ансамбль групп частиц, каждая из которых представляет возможное состояние системы. Информация, которая имеется о системе, позволяет сказать, что некоторая конфигурация частиц более вероятна, чем другие. Это мы выразим, задавая функцию распределения плотности ансамбля или распределение плотности точек системы в фазовом пространстве, или, более кратко, распределение плотности фазовых точек

может быть функцией, явно зависящей от времени, но здесь этот символ опустим), так что наиболее вероятные конфигурации изображаются более высокой плотностью в фазовом пространстве. Более точно, если нормировать так, что

то вероятность того, что реальная конфигурация имеет частицу, координата которой заключена между а импульс — между и аналогичным образом для координат системы, состоящей из частиц. Здесь, как и раньше, сокращенное обозначение которая выражается соотношением (1.69).

Рассмотрим теперь бесконечно малый объем в фазовом пространстве

и найдем, как изменяется число фазовых точек внутри этого бесконечно малого объема. Находя вклад от изменения числа фазовых точек вдоль одной координатной оси и суммируя по всем осям, мы получаем уравнение непрерывности

которое и дает степень изменения числа фазовых точек внутри бесконечно малого объема. Деля это выражение на объем, получаем уравнение, описывающее степень изменения плотности в фиксированной точке фазового пространства:

Подставляя из уравнений Гамильтона (1.68) выражения для и

во второй и четвертый члены суммы (1.73) и переставляя члены, получаем

Уравнение (1.74) — обобщенная форма теоремы Лиувилля; левая часть — раскрытое выражение полного изменения плотности в окрестности частицы.

Мы можем также выразить эту теорему через фазовый объем, следуя за соответствующей группой фазовых точек. Число фазовых точек в малом объеме фазового пространства задается выражением где берется достаточно малым, чтобы мы могли считать постоянным в этом объеме. Дифференцируя по времени, получаем

полная производная по времени от равна нулю, так как мы предполагаем, то граница фазового объема изменяется так, что полное число частиц остается неизменным. Подставляя вместо его выражение из (1.74), получаем

Предполагая, что бесконечно малый объем и интегрируя по всему рассматриваемому объему, получаем

Для негамильтоновых систем плотность и соответственно объем фазового пространства в окрестности частицы в общем случае не являются сохраняющимися величинами. Если, однако, то (1.74) и (1.75) сводятся к привычной записи теоремы Лиувилля:

Рассматривая более общие соотношения, приходим к важному выводу, что плотность и объем в фазовом пространстве могут сохраняться для систем с негамильтоновыми силами при условии, что они не зависят от импульса. Отметим также, что скорее знак чем знак определяет, растет или уменьшается фазовый объем. Различают два случая: системы с так что

и системы с Для систем, передающих энергию окружающей среде, получаем подстановкой (1.77) в (1.75)

Исследуя знак можно теперь определить, растет или

уменьшается объем фазового пространства из-за действия негамильтоновых сил, которые "уменьшают энергию системы. Двумя предполагаемыми механизмами, уменьшающими фазовый объем, являются излучение и столкновения. В случае излучения имеем: действие излучения заключается в уменьшении фазового объема. Для процессов со столкновениями что ведет к увеличению фазового объема. Хотя эти выводы были сделаны для -мерного фазового пространства, они действительны и для приведенного шестимерного фазового пространства, состоящего из трех пространственных измерений и трех канонических импульсов. В этом приведенном фазовом пространстве в отличие от ранее рассмотренного фазового пространства плотность является скорее плотностью действительных частиц, чем плотностью точек, описывающих системы.