Глава 5. ПРИЛОЖЕНИЯ К ПЛАЗМЕ

§ 5.1. Основные положения

Адиабатические инварианты движения.

Представление о некоторых свфйствах движения плазмы в электрическом и магнитном полях можно получить, рассмотрев движение отдельных частиц. Решение уравнений движения облегчается существованием интегралов движения. Если частоты осцилляций по каждой степени свободы сильно различаются, то для систем с несколькими степенями свободы существуют адиабатические интегралы движения даже в том случае, когда точные интегралы движения не существуют. В гл. 2 мы видели, что интегралы движения можно разложить в асимптотический ряд и, если отношение двух частот осцилляций (обозначим его ) приближается к нулю, существуют величины, которые приближаются к интегралам движения быстрее любой степени Мы показали, что интеграл действия, связанный отдельной степенью свободы, является таким адиабатическим интегралом.

Рассмотрим движение частицы в сильном магнитном поле, пространственные вариации которого малы на протяжении циклотронного радиуса

а временные вариации малы на протяжении циклотронного периода

где соответственно циклотронный радиус и циклотронный период: компонента скорости, перпендикулярная к магнитному полю). В этой области можно рассматривать приблизительно три степени свободы: вращение вокруг силовой линии, колебание вдоль нее, дрейф поперек силовой линии. Если взять такие степени свободы, то можно разложить движение по этим степеням и, следовательно, привести движение к квадратурам. Возьмем радиус-вектор частицы в виде

где малый параметр; медленно меняющиеся функции Если то (5.2) будет эквивалентной формой асимптотического разложения гармонического колебания. Действительно, в работе [3] показано; что (5.2) — асимптотическое разложение для точной траектории частицы, заданной условиями (5.1.) В выражении а следовательно, и быстро изменяются и описывают вращение вокруг ведущего центра, тогда как задает медленное движение ведущего центра. Продифференцировав (5.2) по времени, получим скорость

Здесь мы разложили на скорость ведущего центра и и скорость вращения Предположим теперь, что

т. е. поперечная дрейфовая скорость мала по сравнению со скоростью вращения. Тогда для обобщенного линейного импульса, перпендикулярного к магнитному полю, имеем

Предположение (5.4) согласуется с тем, что в нулевом приближении орбиты вращения замкнуты и интеграл действия

последнее справедливо для медленно меняющихся параметров. Подставляя (5.5) в (5.6), имеем

Каждый интеграл в левой части (5.7) можно преобразовать к функциям, пропорциональным потоку, пронизывающему орбиту. Преобразуем первый интеграл, заметив, что

проинтегрировав (5.8) по орбите при получим

где В согласно (5.1) считаем однородным по всей орбите. Аналогично для второго интеграла имеем

Здесь первое равенство вытекает из теоремы Стокса, второе — из определения векторного потенциала, а последнее — из предположения об однородности В. Таким образом, первый интеграл в (5.7) отличается от второго множителем 2 и знаком, поэтому окончательно приводится к выражению

Последнее означает, что полный поток, пронизывающий орбиту, является интегралом движения. Интеграл (5.10) равен половине интеграла (5.9), следовательно,

или

где магнитный момент тока. Если (нерелятивистские изменения энергии), то магнитный момент сохраняется. Адиабатическое пространство впервые показал Альвен при исследовании движения заряженной частицы в магнитном поле Земли [1].

После того как найден интеграл движения, соответствующий одной степени свободы, можно отделить это движение от других. Предполагая, что мало, запишем полную энергию частицы в виде

где для простоты рассматриваем только статические магнитные поля, не включая электрического поля. Решая это уравнение относительно получаем

или, используя выражение для магнитного момента,

Далее, если В изменяется так, что в какой-то точке траектории то и частица начинает двигаться в обратном направлении. Такое отражающее действие магнитного поля определяется только видом функции поскольку при этом движении. Таким образом, мы действительно разделили продольное и циклотронное движение. Тотчас же получаем продольный инвариант

или, подставляя и учитывая, что поскольку поток не замкнут, имеем

Результат (5.14) представляет собой обычную формулировку теоремы о продольной инвариантности. Отметим, что определен как интеграл по замкнутой орбите в фазовом пространстве и что он жен быть адиабатическим интегралом, согласно изложенной выше теории. Предполагается, что продольное движение «плотное». Это означает, во-первых, что прежде чем фаза продольных колебаний сколь-нибудь изменится, циклотронное движение пройдет через все фазы (это эквивалентно нашему предположению, что

и, во-вторых, что поперечный дрейф мал на одном периоде продольного движения. Можно показать, что последнее требование эквивалентно адиабатическому предположению, потому что члены, описывающие дрейф, можно включить в (5.7) как функции третьей степени свободы, но они считались постоянными в течение продольного периода. Еще один метод получения соотношения (5.10) [10, 11] заключается в прямом определении переменных угол — действие:

так что можно найти и показать, что усредненное за период продольных колебаний значение равно нулю. Следует также отметить, что не обязательно должна быть точной константой, а может меняться медленно по сравнению с периодом продольных колебаний. Существование продольного инварианта, безусловно, предполагалось в механизме ускорения космических лучей, предложенном Ферми [22]. То же самое было показано Теллером и Нортропом [44] в связи с проблемой удержания заряженных частиц.

Рис. 5.1. Поле диполя.

Если имеется медленный дрейф от одной силовой линии к другой вследствие наличия градиента магнитного поля, то, считая замкнутой орбиту в фазовом пространстве соответствующей степени свободы, можно предполагать, что существует третий адиабатический инвариант, связанный с площадью этого фазового пространства. Покажем, следуя [44], периодичность движения для специального случая. Рассмотрим поле слабо асимметричного диполя (рис. 5.1). Частица осциллирует вдоль силовой линии со скоростью, определяемой уравнением (5.12), в пределах, ограничиваемых некоторым Далее, если при дрейфе вокруг диполя частица оказывается на другой силовой линии, скажем на вместо то, поскольку из (5.12) следует, что и Так как длина линий также увеличивается от до то, как видно из (5.14), также должно увеличиваться при движении от до для частиц, имеющих одинаковую точку возврата. Однако, поскольку и — адиабатический интеграл относительно этого дрейфа, заключаем, что дрейфовое движение периодично.

Для периодического дрейфового движения можно построите интеграл действия для степени свободы, отвечающей дрейфу, в

котором предполагаются усредненными как вращательное движение, так и продольное:

где полагаем при отсутствии каких-либо изменений параметров, определяющих движение. Пусть теперь энергия системы медленно изменяется со временем, например, вследствие медленного изменения В со временем, тогда выражение (5.15а) останется адиабатически справедливым в силу адиабатического постоянства интеграла действия для любой независимой степени свободы.

Рис. 5.2. Периодическое движение заряженной частицы в магнитном поле: вращение вокруг силовых линий со скоростью и циклотронным перио-. дом ; осцилляции вдоль силовых линий между магнитными зеркалами со скоростью и и периодом дрейф поперек силовых линий вокруг конфигурации как целого со скоростью и периодом

Второй член в выражении для значительно больше первого, так как их отношение (предполагая, что постоянные)

Знак следует из (5.1), т. е. циклотронная частота значительно больше дрейфовой частоты Таким образом, мы установили инвариантность потока для адиабатических систем:

где поверхность, натянутая на дрейфовую орбиту. Другой подход к доказательству того, что поток, пронизывающий

дрейфовую орбиту, является интегралом движения, можно найти в работе [421. Движения, связанные с тремя адиабатическими инвариантами, показаны схематически на рис. 5.2 [38].