Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 5. ПРИЛОЖЕНИЯ К ПЛАЗМЕ§ 5.1. Основные положенияАдиабатические инварианты движения.Представление о некоторых свфйствах движения плазмы в электрическом и магнитном полях можно получить, рассмотрев движение отдельных частиц. Решение уравнений движения облегчается существованием интегралов движения. Если частоты осцилляций по каждой степени свободы сильно различаются, то для систем с несколькими степенями свободы существуют адиабатические интегралы движения даже в том случае, когда точные интегралы движения не существуют. В гл. 2 мы видели, что интегралы движения можно разложить в асимптотический ряд и, если отношение двух частот осцилляций (обозначим его Рассмотрим движение частицы в сильном магнитном поле, пространственные вариации которого малы на протяжении циклотронного радиуса
а временные вариации малы на протяжении циклотронного периода
где
где
Здесь мы разложили
т. е. поперечная дрейфовая скорость мала по сравнению со скоростью вращения. Тогда для обобщенного линейного импульса, перпендикулярного к магнитному полю, имеем
Предположение (5.4) согласуется с тем, что в нулевом приближении орбиты вращения замкнуты и интеграл действия
последнее справедливо для медленно меняющихся параметров. Подставляя (5.5) в (5.6), имеем
Каждый интеграл в левой части (5.7) можно преобразовать к функциям, пропорциональным потоку, пронизывающему орбиту. Преобразуем первый интеграл, заметив, что
где В согласно (5.1) считаем однородным по всей орбите. Аналогично для второго интеграла имеем
Здесь первое равенство вытекает из теоремы Стокса, второе — из определения векторного потенциала, а последнее — из предположения об однородности В. Таким образом, первый интеграл в (5.7) отличается от второго множителем 2 и знаком, поэтому окончательно
Последнее означает, что полный поток, пронизывающий орбиту, является интегралом движения. Интеграл (5.10) равен половине интеграла (5.9), следовательно,
или
где После того как найден интеграл движения, соответствующий одной степени свободы, можно отделить это движение от других. Предполагая, что
где для простоты рассматриваем только статические магнитные поля, не включая электрического поля. Решая это уравнение относительно
или, используя выражение для магнитного момента,
Далее, если В изменяется так, что в какой-то точке траектории
или, подставляя
Результат (5.14) представляет собой обычную формулировку теоремы о продольной инвариантности. Отметим, что и, во-вторых, что поперечный дрейф мал на одном периоде продольного движения. Можно показать, что последнее требование эквивалентно адиабатическому предположению, потому что члены, описывающие дрейф, можно включить в (5.7) как функции третьей степени свободы, но они считались постоянными в течение продольного периода. Еще один метод получения соотношения (5.10) [10, 11] заключается в прямом определении переменных угол — действие:
так что можно найти
Рис. 5.1. Поле диполя. Если имеется медленный дрейф от одной силовой линии к другой вследствие наличия градиента магнитного поля, то, считая замкнутой орбиту в фазовом пространстве соответствующей степени свободы, можно предполагать, что существует третий адиабатический инвариант, связанный с площадью этого фазового пространства. Покажем, следуя [44], периодичность движения для специального случая. Рассмотрим поле слабо асимметричного диполя (рис. 5.1). Частица осциллирует вдоль силовой линии со скоростью, определяемой уравнением (5.12), в пределах, ограничиваемых некоторым Для периодического дрейфового движения можно построите интеграл действия для степени свободы, отвечающей дрейфу, в котором предполагаются усредненными как вращательное движение, так и продольное:
где полагаем
Рис. 5.2. Периодическое движение заряженной частицы в магнитном поле: вращение вокруг силовых линий со скоростью Второй член в выражении для
Знак следует из (5.1), т. е. циклотронная частота значительно больше дрейфовой частоты
где дрейфовую орбиту, является интегралом движения, можно найти в работе [421. Движения, связанные с тремя адиабатическими инвариантами, показаны схематически на рис. 5.2 [38].
|
1 |
Оглавление
|