Устойчивость, фазовое пространство и огибающая периодически фокусируемого пучка.

В предыдущем пункте мы видели, что два квадруполя одинаковой силы, один из которых фокусирующий и другой дефокусирующий, с дрейфовым пространством между ними образуют фокусирующую систему. Если взять группу таких фокусирующих систем, их комбинация может образовать (а может и не образовать) устойчивую фокусирующую систему. Комбинация из

двух линз и дрейфовых промежутков между ними, образующая элемент периодической системы, обозначается FODO: фокусировка, нулевое поле, дефокусировка, нулевое поле. Этот основной элемент легко представить в матричной форме умножением четырех соответствующих матриц:

Элемент может иметь другие начальные и конечные точки, например, если их брать симметрично относительно фокусирующей или дефокусирующей линзы, то границы устойчивости не изменятся. Матрицы для этих комбинаций более сложные, так как имеют две полулинзы вместо линзы, но дополнительная симметрия всегда желательна.

Дифференциальное уравнение движения одной частицы через периодическую систему можно записать в виде

Для FODO-системы, выбирая начало в точке имеем в случае

. Можно также выбрать другой, более простой вид для матрицы периода. Например, периодическую систему можно представить состоящей из фокусирующего и дефокусирующего квадруполей без дрейфового промежутка. Это наипростейшая квадрупольная фокусирующая система исследуется более детально в § 4.1, где рассматриваются бетатронные колебания в ускорителях. Устойчивость таких систем анализировалась в работе [2] при рассмотрении движения частиц в синхротроне с переменными градиентами и с тех пор интенсивно изучалась в приложениях к ускорителям. Другая простая периодическая система состоит из серии коротких симметричных магнитносоленоидальных линз. Их можно расположить так, что либо магнитное поле каждой линзы имеет то же направление, что и остальные линзы, расположенные на некотором расстоянии друг от друга вдоль направления

поля (в этом случае периодическое магнитное поле изменяется резко между некоторым данным значением и нулем), либо направления полей меняются. Такие симметричные системы нашли широкое распространение при фокусировке пучков малой энергии в различных приборах, например, в лампах бегущей волны [20]. Однако анализ на устойчивость наиболее полно был выполнен для систем (с переменными градиентами) типа квадруполя, используемых в ускорителях. В таких системах устойчивость существенна. Теперь рассмотрим периодическую систему общегс типа, удовлетворяющую (3.74а).

В § 1.4 мы уже рассматривали устойчивость уравнения с периодическими коэффициентами. Мы нашли, что преобразование на период можно записать в виде

где

— след матрицы преобразования, такой, как, например, дан в (3.74). Таким образом, для — мы имеем устойчивую систему. Так как значение а определяет устойчивость системы, оно не должно зависеть от начальной и конечной точек матрицы. Однако величина должна непрерывно изменяться с изменением но так, чтобы условие периодичности удовлетворялось. Такими независимыми решениями будут

тогда

Решение это является общим видом решения Флоке [4] уравнения с периодическими коэффициентами, которое широко использовалось при анализе ускорителей (см., например, обзор [3]). Если продифференцировать (3.746) дважды и подставить результат в (3.74а), то после сокращения на и приравнивания действительных и мнимых частей получим

и

Переписывая второе уравнение в виде

и интегрируя его, получаем

Подставляем это значение вместо в уравнение для

Сравнивая это выражение с уравнением для огибающей пучка, видим, что они идентичны, причем силовая функция, которая оправдывает использование ранее в уравнении огибающей для линзы. Мы также нашли из диаграммы эллипса [см. также уравнение (3.736)], что таким образом, если нормировать решение так, что то из (3.746) получим общее периодическое решение

где вместо подставлено значение его и введен произвольный фазовый фактор, чтобы учесть два решения. Нормализованная огибающая пучка дается выражением и действительная траектория частицы определяется колебаниями фазовой функции внутри огибающей.

Рис. 3.12. Преобразование эллипса в периодической фокусирующей системе

Общий вид фазовых элементов, соответствующих FODO-периодической системе, показан на рис. 3.12.