Дополнение
Приведем расчет, используя метод усреднения, для движения частицы в ловушке с магнитными пробками при наличии ВЧ поля. Эти результаты сравниваются с гамильтонианом, вычисленным на поверхности сечения.
Из (5.148) возмущенный гамильтониан равен
где 
параметр разложения 
и до — канонические переменные; 
невозмущенный гамильтониан, заданный выражением (5.119); 
максимальное отклонение частицы, определенное формулой (5.116). Гамильтониан 
не зависит от угловой переменной и является интегралом движения. Величины со, 
соответственно частота, волновое число и амплитуда возмущающего ВЧ поля. Взяв 
и введя новые канонические координаты из производящей функции 
получим
Здесь черта над координатами опущена, так как они не изменяются при преобразовании, а произведение 
разложено на сумму и разность. Предположим, что 
близко к 
так что 
изменяется медленно со временем по сравнению с изменением 
Согласно методу усреднения (см. § 1.4 и 2.4), можно усреднить по переменной высокочастотной фазе 
и фазе продольного движения 
чтобы получить гамильтониан, описывающий изменение 
не зависящий от быстрых изменений в первом порядке по 
Усредняя по 
получаем
Используем формулу 
при обсуждении поверхности сечения. Чтобы провести усреднение по 
разложим 
в ряд Фурье по 
В комплексных обозначениях ряд будет иметь вид
где
При усреднении 
остается только член с 
таким образом, для 
получаем выражение
где 
взяты из 
и имеют вид
Видим, что 
Интегралы можно выразить через функции Бесселя
Нижний индекс при 
во втором члене разложения отличается от вычисленного Зейделем [см. уравнение 
однако обычно в вычислениях используют только первый член суммы, поэтому выражения одинаковы. Подставляя 
имеем
из (5.Д.2)
так же, как и в (5.150). В первом порядке по 
не зависит от 
следовательно, 
остаются интегралами движения.
Остающиеся канонические уравнения можно записать согласно уравнению (5.151) как
Рис. 5,27. Фазовое движение, вычисленное на поверхности сечения. Параметры соответствуют движению с усредненными переменными, вычисленными по рис. 5.19.
Подставляя выражение для 
из 
в уравнения 
получаем
где
В первом порядке по 
нет необходимости в функции 
делать различие между 
В этом приближении гамильтониан 
не зависит от времени и можно положить его равным константе
Таким образом, можно построить в фазовом пространстве кривые 
где константа зависит от начальных условий. Эти кривые представлены на рис. 5.19.
Другой способ усреднения по 
состоит в том, чтобы выбрать фиксированное 
и исследовать фазовую плоскость при последовательных сечениях 
Этот метод полезен для численного определения существования инвариантов и был использован в 
и 5.4. Здесь же мы, предположив адиабатическую инвариантность, покажем, что можно построить диаграмму 
на поверхности сечения, которая даст почти те же величины, что и после усреднения. Начнем с формулы 
подставляя соответствующие константы для 
и резонансные значения 
для невозмущенной системы]. После этих подстановок 
примет вид
Выбирая 
как на рис. 5.19, и константы, соответствующие различным начальным условиям, для нечетных 
получим рис. 5.27. Две фазовые диаграммы аналогичны, за исключением наблюдаемого сдвига нуля 
относительно равновесного положения. Выберем 
четным, т. е. частицы входят в фазовую плоскость с противоположной скоростью, и получим снова сдвиг нуля 
Отметим, что данные рис. 5.19 и 5.27 несколько отличаются от численных результатов, представленных на рис. 5.21. Одна из причин состоит в том, что 
не является точным интегралом, как предполагалось в теоретическом описании. Если фактические значения 
полученные в численном расчете, подставить в 
то вычисления покажут, что поверхность сечения 
что требуется для существования инвариантов.
