Дополнение

Приведем расчет, используя метод усреднения, для движения частицы в ловушке с магнитными пробками при наличии ВЧ поля. Эти результаты сравниваются с гамильтонианом, вычисленным на поверхности сечения.

Из (5.148) возмущенный гамильтониан равен

где параметр разложения и до — канонические переменные; невозмущенный гамильтониан, заданный выражением (5.119); максимальное отклонение частицы, определенное формулой (5.116). Гамильтониан не зависит от угловой переменной и является интегралом движения. Величины со, соответственно частота, волновое число и амплитуда возмущающего ВЧ поля. Взяв и введя новые канонические координаты из производящей функции получим

Здесь черта над координатами опущена, так как они не изменяются при преобразовании, а произведение разложено на сумму и разность. Предположим, что близко к так что изменяется медленно со временем по сравнению с изменением Согласно методу усреднения (см. § 1.4 и 2.4), можно усреднить по переменной высокочастотной фазе и фазе продольного движения чтобы получить гамильтониан, описывающий изменение не зависящий от быстрых изменений в первом порядке по Усредняя по получаем

Используем формулу при обсуждении поверхности сечения. Чтобы провести усреднение по разложим в ряд Фурье по В комплексных обозначениях ряд будет иметь вид

где

При усреднении остается только член с таким образом, для получаем выражение

где взяты из и имеют вид

Видим, что Интегралы можно выразить через функции Бесселя

Нижний индекс при во втором члене разложения отличается от вычисленного Зейделем [см. уравнение однако обычно в вычислениях используют только первый член суммы, поэтому выражения одинаковы. Подставляя имеем

из (5.Д.2)

так же, как и в (5.150). В первом порядке по не зависит от следовательно, остаются интегралами движения.

Остающиеся канонические уравнения можно записать согласно уравнению (5.151) как

Рис. 5,27. Фазовое движение, вычисленное на поверхности сечения. Параметры соответствуют движению с усредненными переменными, вычисленными по рис. 5.19.

Подставляя выражение для из в уравнения получаем

где

В первом порядке по нет необходимости в функции делать различие между В этом приближении гамильтониан не зависит от времени и можно положить его равным константе

Таким образом, можно построить в фазовом пространстве кривые где константа зависит от начальных условий. Эти кривые представлены на рис. 5.19.

Другой способ усреднения по состоит в том, чтобы выбрать фиксированное и исследовать фазовую плоскость при последовательных сечениях Этот метод полезен для численного определения существования инвариантов и был использован в и 5.4. Здесь же мы, предположив адиабатическую инвариантность, покажем, что можно построить диаграмму на поверхности сечения, которая даст почти те же величины, что и после усреднения. Начнем с формулы подставляя соответствующие константы для и резонансные значения для невозмущенной системы]. После этих подстановок примет вид

Выбирая как на рис. 5.19, и константы, соответствующие различным начальным условиям, для нечетных получим рис. 5.27. Две фазовые диаграммы аналогичны, за исключением наблюдаемого сдвига нуля относительно равновесного положения. Выберем четным, т. е. частицы входят в фазовую плоскость с противоположной скоростью, и получим снова сдвиг нуля Отметим, что данные рис. 5.19 и 5.27 несколько отличаются от численных результатов, представленных на рис. 5.21. Одна из причин состоит в том, что не является точным интегралом, как предполагалось в теоретическом описании. Если фактические значения полученные в численном расчете, подставить в то вычисления покажут, что поверхность сечения что требуется для существования инвариантов.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)