Связанные колебания.

Мы уже отмечали, что из-за большого различия частот свободных и вынужденных колебаний радиальное движение может быть адиабатически разбито на движение по двум степеням свободы. Даже если не использовать адиабатическое приближение, остаются три несвязанные степени свободы. Например, если рассматривать более простые случаи: а) круговой симметрии ультрарелятивистский малых фазовых колебаний (линейное приближение) со временем в качестве независимой переменной, то связанные уравнения легко вывести:

Предполагая решение вида получаем связанные уравнения:

с константами, определенными из (4.95) очевидным образом. Для того чтобы эта система имела нетривиальные решения, определитель, составленный из коэффициентов, должен равняться нулю, откуда получаем квадратичное по уравнение

Для несвязанных колебаний угловые частоты свободных и вынужденных колебаний соответственно. При наличии связи все же существуют независимые собственные решения, соответствующие двум решениям (4.97). Полагая получаем приблизительно следующие собственные решения

Адиабатическое изменение фазового пространства для каждой отдельной степени свободы может быть теперь вычислено с использованием (4.98) для соответствующих частот. Далее мы обсудим радиационное затухание, предполагая, что в силу линеаризации или адиабатического приближения три степени свободы разделяются. Хотя полученные выше соотношения были найдены для ультрарелятивистского случая, аналогичные выражения могут быть выведены при низких энергиях.