§ 4.5. Использование распределений плотности в процедуре увеличения числа транспортируемых частиц

Введение.

В § 4.3 и 4.4 рассмотрено согласование поперечного и продольного фазовых пространств в ускорителях. Мы нашли, что можно увеличить число частиц, инжектируемых в ускоряющую систему, согласовывая эмиттанс пучка с аксептансом ускорителя. Однако также очевидно (см. § 4.4 и обсуждение продольного согласования в § 3.4), что согласование определено однозначно только в том случае, если задана функция распределения внутри эмиттанса. Таким образом, для двумерного фазового пространства согласование заданного эмиттанса можно рассматривать следующим образом: нужно придать эмиттансу такую форму, чтобы увеличить число частиц, содержащихся внутри фазового пространства аксептанса. При изучении проблемы согласования эмиттанса линейного ускорителя с аксептансом синхротрона (см. § 4.3) найдено, что поперечное и продольное фазовые пространства нельзя рассматривать независимо. Как бетатронные, так и синхротронные колебания приводят к росту радиальных колебаний и поэтому при определении амплитуды радиальных отклонений их нужно рассматривать вместе. В том параграфе использована простая процедура для сложения амплитуд бетатронных и синхротронных колебаний, которая давала приближенный результат и максимизировала число захваченных частиц.

Рассмотрим распределение плотности внутри эмиттанса и разовьем процедуру получения преобразований плотности распределения после того, как частицы подверглись бетатронным и синхротронным колебаниям. Учтем также связь поперечного и продольного фазового пространства. Используем преобразование функции распределения при решении проблемы увеличения числа частиц, захваченных в синхротрон, по отношению к ускоряющему напряжению при инжекции. Число захваченных частиц является наибольшим для процедуры согласования, которая изменяет как форму эмиттанса, так и ускоряющее напряжение синхротрона. Однако реальный инжектор иногда может содержать преобразователь эмиттанса, а иногда нет, поэтому рассмотрим оба случая.

Можно изучить аналитически два предельных случая: когда нет корреляции между синхронными и бетатронными колебаниями и случай полной корреляции. Для этих случаев изменяем форму эмиттанса по мере того, как меняется напряжение. Эти простые случаи иллюстрируют используемые при этом методы, а также дают верхнюю и нижнюю границы оптимального ускоряющего напряжения при инжекции. Найдем также оптимальное напряжение для действующего синхротрона Кембриджского электронного ускорителя. В соответствии с реальной конструкцией инжектора эмиттанс в этом примере фиксирован, в то время как напряжение изменяется.

Далее все величины будем считать возмущениями около равновесной орбиты по отношению как к бетатронным, так и к синхротронным колебаниям. Таким образом, отклонение импульса записывается как а отклонение положения как Мы интересуемся преобразованием распределения плотности фазового пространства эмитганса к усреднённой по времени плотности внутри синхротрона. Как уже показано в §3.1, для колебательной системы часто можно упростить преобразование, используя новую переменную которая является радиус-вектором в фазовом пространстве от положения невозмущенной орбиты до кривой, на которой гамильтониан возмущенного движения постоянен. Затем можно проинтегрировать по второй переменной 0, которая описывает положение частицы вдоль кривой постоянного гамильтониана и поэтому является игнорируемой координатой при описании границ аксептанса колебательной системы.

Как и раньше, выразим распределениеплотности через новые переменные соотношением

где предполагаем, что нормирована так, что

После преобразования переменных, функции плотности распределения частиц в фазовом пространстве эмиттанса по (4.139) новое распределение плотности нельзя рассматривать как функцию только переменных эмиттанса Это следует из того факта, что переменные зависят от формы кривых постоянного гамильтониана аксептанса. Рассмотрим скачала фазовое пространство, связанное с синхротронными колебаниями. Обозначим переменные фазового пространства через Рассмотрим преобразование плотности частиц фазового пространства к усредненной по времени плотности внутри синхротрона Если

обозначить через интеграл от по 0, то можно записать преобразование в следующем виде:

где условная вероятность нахождения частицы после преобразования в точке если до преобразования она находилась в точке Если условная вероятность не зависит от то фазовое пространство эмиттанса также может быть проинтегрировано по до интегрирования (4.140).

Нас интересует радиальное движение в синхротроне и таким образом мы рассматриваем четырехмерное фазовое пространство, которое описывает радиальное движение. Предполагаем, что поперечное и продольное фазовые пространства эмиттанса не коррелированы (хотя, конечно, эти фазовые пространства могут быть коррелированы в аксептансе). Обозначим максимальное радиальное отклонение любой частицы из-за синхротронных колебаний через а бетатронных колебаний — через Амплитуда пропорциональна максимальному отклонению импульса таким образом, пропорциональна Если частица с координатой в фазовом пространстве колеблется с амплитудой то плотности, выраженные через и связаны выражением

В синхротроне существуют два пути, по которым могут теряться частицы эмиттанса: они могут либо удариться о стенки вакуумной камеры, либо могут быть неустойчивы по отношению к синхротронным колебаниям.

Если условие синхротронной устойчивости ограничивает значение т. е. то усредненная по времени плотность в синхротроне полученная из (4.140) и (4.141), имеет вид

где определяется из уравнения для коэффициента расширения орбиты (или рмакс), в свою очередь, находится из вычисления гамильтониана для синхротронных колебаний, уравнение (4.896) для значений соответствующего границе области фазовой устойчивости.

Полное число частиц внутри любого (в качестве может быть использована полуширина вакуумной камеры)

где — полное число частиц внутри эмиттанса. Затем мы можем, меняя (связанное с ускоряющим напряжением синхротрона), увеличить