Глава 1. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ

§ 1.1. Введение

Движение частиц в фазовом пространстве.

Рассмотрим уравнения-движения частиц, имеющих в общем случае степеней свободы. В гамильтоновом или каноническом представлении движение частиц описывается уравнениями, которые могут быть записаны в виде (Голдстейн, 1951 г.)

где точка над символом означает полную производную по времени.

Пусть частицы движутся в потенциальном поле, которое не зависит от времени, причем внешние связи отсутствуют. Если обозначить координаты положения частиц в прямоугольной системе координат, соответствующие импульсы частиц, то полная энергия частиц (кинетическая плюс потенциальная), являющаяся интегралом движения, т. е. не зависящая явно от времени. В теоретической механике дается более подробное толкование величин Краткое изложение теории дано в § 1.2. В дальнейшем нам пригодится именно эта простая интерпретация уравнений. Будем ссылаться на (1.1) как на систему уравнений, описывающих движение частиц, или более кратко как на «систему». начальных координат и импульсов всех частиц однозначно определяют последующее движение. Движение системы частиц можно также описать движением одной точки, но уже в пространстве измерений. Эта точка отображает конкретную конфигурацию частиц в пространстве 6 измерений. Чтобы нагляднее представить себе это движение, рассмотрим более простую систему, в которой каждая пара уравнений вида (1.1) не зависит от всех остальных пар. Это эквивалентно предположению, что отсутствует взаимодействие между частицами и что движение вдоль каждого из трех измерений в пространстве не зависит от двух других. В силу этого движение каждой частицы вдоль пространственной оси обладает двумя константами движения — начальными положением и компонентой импульса вдоль этого направления, т. е. движение частицы можно представить уравнениями

которые в принципе могут быть решены относительно как функций времени и начальных значений Предположим, что уравнения (1.2) решены относительно как функций времени. В пространстве двух измерений с координатными осями можно проследить траектории движения в одном пространственном измерении частиц от начального момента отвечающего начальным для каждой частицы, до некоторого более позднего момента Назовем это - пространство фазовым пространством частиц (траектории трех изображающих точек показаны на рис. 1.1). Отметим два важных свойства фазового пространства.

Рис. 1.1. Траектории изображающих точек в фазовом пространстве.

1. Траектории частиц в фазовом пространстве не пересекаются в некоторый заданный момент времени. Это следует из того факта, что начальные условия и время однозначно определяют последующее движение. Таким образом, если бы две траектории пересекались, то они имели бы одинаковые значения в какой-то момент времени и их дальнейшее движение было бы тождественным. В следующем пункте мы увидим, что если гамильтониан не зависит от времени, то (1.2) не будет явно зависеть от времени. В этом частном случае траектория в фазовом пространстве не зависит от времени и траектории не могут пересекаться в двумерном фазовом пространстве. Очевидно, что обобщенное фазовое пространство, у которого в качестве третьего измерения выбрана ось времени, даже если гамильтониан зависит от времени, не содержит пересекающихся траекторий.

2. Граница в фазовом пространстве ограничивающая некоторую группу частиц в момент времени преобразуется к моменту времени в границу которая ограничивает ту же самую группу частиц. Второе свойство следует непосредственно из первого, так как любая частица внутри границы при приближении к

последней должна затем принять те же начальные условия для последующего движения, что и граничная частица, и, таким образом, двигаться так же, как и граничная частица. Из этого второго свойства вытекают важные следствия, которые заключаются в том, что вместо рассмотрения большой группы частиц можно следить за движением значительно меньшей группы граничных частиц.

Проиллюстрируем кратко второе свойство на простом примере, который более подробно будет разобран в гл. 3.

Рис. 1.2. Линейное преобразование области фазового пространства, ограниченной прямоугольником.

Рассмотрим группу невзаимодействующих частиц, имеющих общее дрейфовое движение. Дадим матрицу, описывающую поперечное общему направлению дрейфа движение частиц в двумерном фазовом пространстве:

В свободной от действия сил дрейфовой области поперечный импульс сохраняется, в то время как поперечная координата изменяется в конце дрейфа на величину, равную произведению поперечной скорости на время дрейфа где длина дрейфа, дрейфовая скорость. Если частицы первоначально находятся в области поперечного фазового пространства, ограниченного прямоугольником (рис. 1.2), то после дрейфа координаты каждой частицы изменятся пропорционально начальному импульсу преобразовав прямоугольник в параллелограмм. На этом примере, находя преобразование границы, убеждаемся, что координаты всех частиц не только локализованы в фазовом пространстве, но, используя свойства линейной матрицы, которая преобразует прямые линии в прямые, находим это конкретное преобразование границы.

Такие простые графические построении значительно облегчают понимание многих вопросов динамики частиц.

Хотя в предыдущем рассуждении рассматривалось фазовое пространство, занятое группой частиц, как область, внутри которой могут быть найдены предполагаемые известными координаты частиц, существует другая интерпретация фазового пространства. Если начальные координаты одной частицы неизвестны, мы можем рассмотреть совокупность возможных начальных координат частицы, причем начальные координаты распределены в пространстве так, что их вероятность, определяемая из этого распределения, лучше всего соответствует имеющейся информации о действительных координатах частицы. Плотность вероятности обычно нормируется так, что интеграл от нее по всему пространству равен единице. Это соответствует тому факту, что действительные начальные координаты частицы находятся где-то в пространстве. Если у нас имеются невзаимодействующих частиц, то плотность частиц в фазовом пространстве равна плотности, распределения вероятности частиц без нормировки. Траектории в фазовом пространстве дают изменение плотности распределения. Если частицы взаимодействуют, то уравнения (1.1) связаны и размерность фазового пространства больше. Мы вернемся к этому более сложному случаю в § 1.3.

В предыдущих рассуждениях мы не использовали тот факт, что уравнения движения представлены в канонической форме. При использовании данной выше геометрической интерпретации мы могли бы в качестве координаты, отвечающей одной степени свободы, с равным правом выбрать скорость вместо импульса. В следующем разделе введения покажем, почему мы выбрали именно гамильтонову форму уравнений движения.