§ 1.4. Теория колебаний

Введение.

Большинство вопросов, с которыми сталкиваются, рассматривая движение частиц с точки зрения фазового пространства, связано с колебательными системами. Кроме того, одно из преимуществ этого подхода — возможность получить значительную информацию о движении частиц, не решая полностью уравнений движения. Получение частных решений является большим достижением, так как уравнения движения в общем случае не линейны и не могут быть решены аналитически. Поэтому есть надежда обнаружить значительное сходство между методами фазового пространства и методами, используемыми для получения как частных решений, так и приближенных решений уравнений, описывающих нелинейные колебания. Само понятие фазовой плоскости сыграло важную роль при изучении нелинейных колебаний. В самом деле, именно Пуанкаре (1892 г.) при изучении небесной механики развил теорию устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений. В этом параграфе кратко излагаются некоторые понятия и методы теории нелинейных колебаний и сделана попытка показать, как они могут быть описаны с точки зрения теории фазового пространства. Не будем пытаться дать здесь полное освещение этого вопроса. Для более глубокого изучения предмета и более полной библиографии мы отсылаем читателя к работам [2, 18, 21]. Материал данного параграфа в значительной степени заимствован из этих работ.

Консервативные автономные системы.

Нелинейное дифференциальное уравнение

описывает автономные (не содержащие явно независимую переменную), консервативные (не содержащие первой производной)

колебания. Как обычно, точка означает производную по времени. Вводя переменную получаем подставляя ее в имеем уравнение

которое сразу же разделяется. Интегрируя, получаем

Уравнение (1.99) идентично по форме выражению (1.6), приводящему к интегралу энергии для осциллятора с не зависящим от времени гамильтонианом. Как мы уже видели, в случае гамильтоновой системы одномерный консервативный осциллятор легко сводится к квадратурам при решении уравнения относительно

где выражено из соотношения (1.99). Интегрируя по замкнутой кривой, убеждаемся в том, что период зависит от начальных условий. Таким образом, частота колебаний зависит от амплитуды колебаний.