§ 3.4. Преобразования продольного фазового пространства. Нелинейные эффекты

Введение.

В § 3.3 рассмотрены преобразования фазового пространства, поперечного к главному направлению движения частицы. Положение отдельной частицы на траектории считалось одинаковым для всех частиц, расстояние вдоль траектории выступало в качестве независимой переменной, связанной со временем скоростью которая принималась общей для всех частиц. Согласование поперечного фазового пространства в этом случае осуществлялось с помощью статических линз, расположенных вдоль траектории частицы.

Согласование продольного фазового пространства существенно отличается от согласования поперечного фазового пространства, так как оно осуществляется линзами с высокочастотными (ВЧ) полями, применение которых обусловлено тем, что равновесная фаза (т. е. фазово-устойчивое положение относительно некоторого ускоряющего ВЧ поля, около которого частицы группируются по фазе и энергии) сама движется вдоль траектории. Следовательно, группирующие поля должны либо двигаться с равновесной (фазово-устойчивой) частицей, либо быстро прикладываться в такой момент, чтобы возле равновесного положения возникали группирующие силы.

Четвертьволновой преобразователь, например, состоит из бегущего продольного электрического поля, величина которого линейно связана с фазой частицы; при равновесном положении величина поля становится равной нулю. Затем поле периодически повторяется. Такое поле представляет собой пилообразную волну, которую можно разложить на фурье-компоненты следующим образом:

где фаза относительно равновесного положения, а максимальное поле. Так как на практике ВЧ поля синусоидальны, мы должны аппроксимировать линейные поля синусоидой. Для анализа продольного фазового пространства будем предполагать, что реальная система аппроксимируется только первым членом. Если поля занимают область, длина которой мала по сравнению с колебанием фазы, то они действуют как тонкая линза, т. е. при прохождении области сильного поля импульс частиц резко меняется. Однако поскольку возвращающая сила, действующая на ансамбль частиц, изменяется синусоидально со временем и поскольку частицы пересекают линзу в моменты, зависящие от их фаз относительно осциллирующего поля, возвращающие силы в тонких линзах также меняются синусоидально и, следовательно, они нелинейны.

Применяются в основном два типа преобразователей продольного фазового пространства: фазовые группирователи и группирователи по энергии (фазовые разгруппирователи). Сохранение фазовой

площади при преобразованиях означает, что фазовые группирователи увеличивают разброс по энергии, а группирователи по энергии увеличивают разброс по фазе. Обычно, однако, аксептанс ускоряющей системы ограничивается формой эмиттанса, а не его размерами.

Упрощенный анализ предгруппирователей для электронного линейного ускорителя был предложен Нейлом [19] и Смарзом [22]. Лихтенберг [14] обобщил этот анализ, включив разброс по импульсам. Группирователи по энергии предложили независимо Джонсон [10], Лихтенберг и Робинсон [17]; Лихтенберг [16] провел общее исследование группирователей по фазе и энергии.

Мы будем изучать два типа предгруппирователей раздельно, несмотря на то что группирователи по фазе и по энергии используют одинаковые линейные преобразования. Это обусловлено тем, что возникающие на практике задачи достаточно специфичны.

Фазовые группирователи обычно применяют на входе линейного ускорителя. Эмиттансное фазовое пространство имеет разброс по импульсам, меньший аксептанса ускорителя, однако разброс по фазе равномерен. Эффективная площадь фазового пространства, занятая частицами, определяется нелинейностью фазового группирователи, а не площадью эмиттанса.

Группирователи по энергии обычно используют на выходе линейного ускорителя. Разброс по энергиям большой, но разброс по фазам порядка нескольких градусов. Эффективная площадь фазового пространства определяется в основном площадью эмиттанса.

В § 3.2 уже разработана общая теория преобразований для линейных систем. Рассмотрим два практических примера согласования продольного фазового пространства.