Интегральные инварианты.

Довольно подробно обсуждены значения инвариантов движения. Теперь мы можем рассмотреть класс инвариантов, называемых интегральными инвариантами Пуанкаре [19]. Как будет показано, эти инварианты тесно связаны с интегралами действия. Содержание этого пункта близко к материалу работы [23].

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

определяет движение точки в пространстве измерений. Мы определяем интегральный инвариант движения -порядка как интеграл от некоторой функции координат, причем интеграл от этой функции, взятый по переменным, не зависит от времени. Интегральный инвариант первого порядка имеет вид

где интегрирование выполнено в фиксированный момент времени. Можно непосредственно найти условие независимости выражения (1.41) от времени. Дифференцируя (1.41) по времени, получаем выражение

которое удовлетворяется для всех значений только если член в круглых скобках равен нулю для каждого значения Если известен первый интеграл дифференциальных уравнений, скажем, то можно определить и интегральный инвариант. - Полагая в (1.42), имеем

Это выражение удовлетворяется для всех Поэтому, подставляя вместо в (1.41), получаем в качестве интегрального инварианта выражение

Как можно показать, для систем, подчиняющихся каноничь ским уравнениям Гамильтона, важным интегральным инвариантом следующего более высокого порядка является

где означает, что интеграл должен вычисляться для постоянного момента времени. Пусть система описывается дифференциальными уравнениями

Покажем, что если (1.44) — интегральный инвариант, то где функции всех координат, импульсов и времени Если предположить что существует интегральный вариант вида (1.44), то интеграл должен быть определен

двумя величинами и которые не зависят от времени. Поэтому приравниваем (1.44) константе и выражаем через новые переменные с помощью якобиана

откуда следует

Дифференцируя и используя выражение (1.45), получаем

Так как функции полученное выше выражение можно записать в следующем виде:

Расписывая определители и требуя, чтобы коэффициенты при членах, таких, как , равнялись, бы нулю (X и выбраны произвольно), получаем Это выражение удовлетворяется тождественно, если определяются из гамильтониана, т. е.

Таким образом, (1.44) — интегральный инвариант гамильтоновой системы. Для систем с одной степенью свободы имеем

Это является доказательством сохранения площади фазового пространства системы частиц, т. е. доказательством теоремы Лиувилля для двух измерений. В следующем параграфе это доказательство будет обобщено на многомерные системы. Для каждой независимой степени свободы соответствующий член в (1.44) должен быть константой, и, таким образом, повторяя наши рассуждения при выводе выражения (1.43), получаем, что интегралы движения существуют для каждой независимой степени свободы. Это подтверждает сделанное во введений утверждение, что для системы, у которой гамильтониан постоянен, каждая независимая степень свободы может быть сведена к квадратурам.

Применяя теорему Стокса к (1.44), получаем другой интегральный инвариант, известный как относительный инвариант системы:

где интегрирование проводится по замкнутому пути. В общем случае применение теоремы Стокса уменьшает порядок интегрирования на единицу и преобразует интегральный инвариант по произвольной области в относительный инвариант по замкнутой области. Относительные интегральные инварианты особенно важны при изучении колебательных систем, которые будут рассмотрены в следующем разделе. Уравнение (1.46) может быть обобщено, если интегрировать по любому замкнутому пути в фазовом пространстве, включая те, в которых меняется время. Вариационный принцип, из которого выводятся гамильтоновы уравнения движения, обычно записывается в виде

где вариация некоторого параметра, не зависящего от времени. Та же самая вариация имеет силупри интегрировании по любому параметру, который не зависит от вариации, обозначаемой 6. Выберем такую переменную и перепишем (1.47)

Полагая получаем новую форму вариационного уравнения:

Выражение (1.46) может быть переписано в виде

где интегрирование происходит при но так как выбрано произвольно, то новый путь, который теперь включает вариацию времени, может быть выбран так, что часть его лежит вдоль действительной траектории в фазовом пространстве. В частности, для колебательной системы с одной степенью свободы имеем

Для специального случая второй член при интегриро вании по замкнутому пути исчезает и тогда Если выбрать траекторию в виде одного витка вокруг трубки,

показанной на рис. 1.7, видно, что путь интегрирования состоит из двух частей, так что

где путь вдоль одного полного витка. Для периодических систем конечные точки пути имеют одинаковые значения таким образом, путь может быть выбран так, что Поэтому и из (1.49)

Таким образом, для постоянного гамильтониана площадь фазового пространства является интегралом движения. Если гамильтониан изменяется, то, используя выражение (1.48), получаем, что площадь фазового пространства, определенная выражением (1.50), уже не постоянная величина.

Рис. 1.7. Путь в фазовом пространстве при вычислении интеграла действия расширенной системы.

Однако если заметно не меняется в течение периода, то можно показать, что (1.50) приблизительно удовлетворяется по истечении многих колебаний, в продолжение которых само может значительно измениться. Утверждение об адиабатической инвариантности траектории в фазовом пространстве частицы с медленно изменяющимся гамильтонианом подробно обсуждается в гл. 2.