Колебания частиц в кусочно-постоянной системе.

Вернемся к линейной колебательной системе, описываемой уравнениями

(3.10), в которой кусочно-постоянны и которая имеет эллиптические фазовые траектории. Дрейфовый промежуток и тонкие линзы относятся к специальному случаю, для которого или соответственно. В общем случае для области с постоянными параметрами имеем

где начальные значения и

и где использовано более узкое определение а именно: отношение максимального отклонения к максимальному отклонению Фазовая область, ограниченная гамильтонианом данной частицы, задается интегралом действия

подставляя (3.30) в (3.32) и интегрируя, получаем

Можно найти эффективную площадь фазового пространства, занятую частицами со всеми начальными значениями находя максимум по отношению к Предположим, что все частицы первоначально колеблются вдоль кривой постоянного гамильтониана в потенциальной яме с Если разрыв по имеет место в момент то начальные значения в системе с новыми значениями будут

где предполагается, что проходит через свой максимум в момент времени Подставляя (3.34) в (3.33), получаем

Определяя максимум по отношению к найдем, что эффективная фазовая площадь А растет как или в зависимости от того, какое из этих двух выражений больше. Данная ситуация может быть отображена графически (рис. 3.7). Эмиттанс, ограниченный колеблется в потенциальной яме с формой аксептанса, заданной эллипсом с границей Эмиттанс колеблется внутри с частотой , его мгновенная форма задается кривой Фазовая площадь эмиттанса задается либо либо эффективная же фазовая площадь — площадь, ограниченная

Однако здесь мы сталкиваемся с дилеммой, возникающей из первоначального определения эффективной фазовой площади. Рассматривая преобразование фазовой площади при скачкообразном изменении параметров, мы предполагали, что все фазовые точки внутри эффективной площади образуют возможные начальные условия на этом разрыве. В случае линейных колебаний фазовое пространство первой области не заполняет всего эффективного фазового пространства второй, а как единое целое пересекает со временем все части эффективного фазового пространства. Так как второй разрыв имеет место в заданный момент времени по отношению к первому, начальное фазовое пространство локализовано в своем эффективном фазовом пространстве во второй области данным линейным преобразованием. Таким образом, для кусочно-постоянной линейной системы мы переопределяем эффективную площадь фазового пространства через конечную область системы, промежуточные же области, как считается, сохраняют знание о фазе. Именно в этом случае возможен обоснованный выбор значений фазового сдвига и отношения осей промежуточных секций для уменьшения эффективной Площади фазового пространства. Эта процедура рассмотрена ниже.

Рис. 3.7. Рост «эффективного» фазового пространства при резком изменении гамильтониана линейного осциллятора.

Продолжим аналогию импеданса на систему с кусочно-постоянными параметрами, рассматривая преобразование через линейную систему [заданную выражением (3.30)], где преобразование лежащих на начальном эллипсе импеданса задается выражением

где Z - импеданс эллипса в конце области. Сила этой аналогии очевидна и заключается в том, что она позволяет использовать теорию электрических линий к преобразованию эллипсов фазового пространства. Роль этой аналогии станет более очевидной в следующих параграфах. Для частного случая, когда имеем простую графическую интерпретацию для (см. рис. 3.7). Эллипс с отношением осей, равным задает фазы на входе линейной колебательной системы с аксептансом, ограниченным линией с отношением осей, равным Отношение двух площадей — как следует из (3.35). Замечая, что площадь эмиттанса — постоянная

величина, получаем тот же самый результат из (3.36) и, таким образом, для действительного имеем

где из Эффективная фазовая площадь теперь имеет следующий вид:

и, используя полученные выше соотношения для и получаем

что, как и раньше, дает рост А.