Влияние пространственного заряда.

Теперь возвратимся к задаче из § 3.3 о частицах, вращающихся в однородном магнитном поле, создаваемом аксиально-симметричными линзами. Мы нашли, что в системе координат, вращающейся с ларморовой частотой движение частицы описывается уравнением

Введем теперь, как и выше, максвелловское распределение. Обозначим через координаты холодных электронов, траектории которых начинаются на границе катода, а через средняя тепловая скорость] — координаты тепловых электронов, выходящих из центра катода. Тогда для

каждой траектории колебания задаются уравнением (3.104) с начальными условиями

и

Начальное значение для обусловлено тем, что мы выбрали вращающуюся систему координат, в которой уравнение движения имеет особенно простой вид (3.104). Движение около центра симметрии можно представить как суперпозицию двух простых гармонических колебаний по каждой координате, а соотношение фаз между этими двумя колебаниями определяется с помощью начальных условий.

Рис. 3.19. Зависимость между выходом по току и выходом по интенсивности для одномерной линзы.

Рис. 3.20. Зависимость между выходом по току и выходом по интенсивности для линзы с круговой симметрией.

Однако особый интерес представляет один простой случай, когда обобщенный угловой момент (3.101) равен нулю для обоих независимых решений. Это справедливо для тепловых частиц, выходящих из центра симметрии. Предположим, что катод экранирован от магнитного поля, и пусть теперь он внезапно вводится в поле. Тогда из условия сохранения обобщенного углового момента следует, что частицы приобретут угловое вращение с ларморовой частотой со. Так как (непосредственно внутри области поля), решениями уравнения (3.104) для будут соответственно синус и косинус и конфигурация пучка будет пульсировать между изображениями катода и кроссовером, где поперечное максвелловское распределение скоростей изображается как распределение плотности. Каждое пульсирование соответствует четверти оборота области фазового пространства. Здесь, как и в предыдущих разделах, мы предполагали, что постоянная продольная скорость (обусловленная начальным ускорением) достаточно большая и

что тепловые скорости частиц пучка несущественны. Действие продольных скоростей проявляется обычно в размытии конфигурации пучка. Конфигурацию изображений и кроссоверов экспериментально получил Ашкин (см. [9]). Результаты Ашкина, показывающие профиль пучка на протяжении четверти периода, даны на рис. 3.21. Эмиссию катода преднамерённо делали переменной по поверхности катода, с тем чтобы изображение катода показывало его структуру. Видно, что структура в кроссоверах размывается. Метод анализа аксиально-симметричных пучков впервые использовал Герман [9].

Под влиянием расталкивающих кулоновских сил, обусловленных собственным пространственным зарядом, движение частиц пучка будет изменяться.

Рис. 3.21. Вариация плотности заряда вдоль пучка, иллюстрирующая переход от зубчатого изображения катода к сглаженному гауссову кроссоверу.

Предположим, что плотность пространственного заряда аксиально симметрична, тогда радиальное поле пространственного заряда определяется из теоремы Гаусса

где а — плотность пространственного заряда; диэлектрическая постоянная. Будем считать а простой функцией радиуса. Например, если а однородна по поперечному сечению, то

где усредненная по радиусу плотность. Подставим это значение в уравнение движения (3.86) и, принимая во внимание, что [из (3.58а) и (3.58б)], получаем

где

т. е. связана с плазменной частотой как Если не зависит от то уравнение (3.106) можно решить для любого набора начальных условий, получая решения с уменьшенной частотой колебаний из-за того, что сила пространственного заряда частично компенсирует фокусирующую магнитную силу. Для частного вида инжекции при экранированном катоде (инжекция Бриллюэна) при

выборе траектория не будет осциллировать, однако она будет вращаться вокруг оси по окружности постоянного радиуса с ларморовой частотой. Это состояние, называемое бриллюэновским потоком, самосогласованно только в случае отсутствия тепловых скоростей.

Если принять во внимание тепловые скорости, то мы не вправе полагать, что а не зависит от Рассмотрим метод определения приближенного самосогласованного движения огибающей пучка. Сначала, предполагая, что скорость постоянна вдоль движения, перепишем (3.106) в виде уравнения для траектории

где Теперь применим уравнение, относящееся к движению огибающей пучка, к уравнению движения частицы (3.71). Полагая и подставляя выражения для из уравнения (3.108), получаем

а после сокращения на как и раньше, будем иметь

Можно определить вводя ток пучка I и учитывая, что плотность заряда есть отношение тока к площади сечения пучка:

Это нам даст следующее дифференциальное уравнение для огибающей:

где, как и раньше,