Стохастический циклотронный резонансный нагрев.

Значительные усилия были сделаны для развития теории стохастического ускорения частиц с тем, чтобы объяснить существование высокоэнергичных частиц в экспериментах пучок—плазма, ударных волнах и солнечных явлениях.

Рис. 5.21. Численный расчет фазовых траекторий, соответствующих траекториям на рис. 5.19.

Стикс [59] рассмотрел циклотронное ускорение электронов в электрических полях, считая, что вначале поля когерентны, а затем испытывают беспорядочное изменение фазы. Если поля обусловлены коллективными плазменными явлениями, когерентность трудно установить. В другом подходе (Стар-рок [63]) флуктуации электрических полей рассматриваются как стационарный случайный процесс, который можно описать корреляционными функциями второго порядка. Исследование становится более сложным, но корреляционные функции можно вычислить из квазилинейной теории. Более просто дело обстоит, если стохастические поля прикладываются извне [47].

Отметим, что процесс нагрева (диффузия в пространстве скоростей) может также приводить к диффузии в конфигурационном пространстве. Для удерживаемых ловушкой частиц, если время

флуктуации ненамного больше периода осцилляции по данной степени свободы, флуктуации будут приводить к неадиабатическому поведению по этой степени свободы. Например, Бирмингем и др. [5] подробно развили теорию диффузии, возникающую из-за нарушения третьего адиабатического инварианта. Старрок и Холл [64] рассмотрели диффузию частиц в пространстве скоростей при наличии стохастических полей.

Рис. 5.22. Иллюстрация разрушения адиабатического инварианта для глубокого проникновения частиц в магнитную пробку.

Мы предполагаем, что стохастическая природа полей зависит от случайности высокочастотной фазы по отношению к орбитальной фазе в резонансной области.

Рис. 5.23. Неадиабатический захват и нагрев (с помощью ВЧ поля) частиц, инжектированных в ловушку с магнитными пробками.

В предыдущем разделе мы видели, что время нахождения в резонансной области не зависело от фазы. Поэтому может быть применен метод, аналогичный методу Стикса. Диффузией в конфигурационном пространстве пренебрежем.

Будем считать, что при возвращении в резонансную область электроны имеют случайную фазу по отношению к электрическому полю и поперечная скорость достаточно большая, так что

резонансное изменение энергии [см. (5.144)] зависит только от члена, содержащего фазу. При их предположениях имеем

где какл (поперечная энергия при входе в резонансную область), так и независимые случайные переменные. Число эффективных орбит внутри резонансной области считается постоянным, как и предполагалось в численном расчете. Уравнение (5.157) описывает марковский процесс, так как каждое последующее значение зависит только от предыдущего. Для этого случая было показано [67], что в пределе малых изменений энергии для каждого перехода распределение вероятности описывается уравнением Фоккера-Планка

где первый и второй моменты изменения энергии, т. е.

— усредненная по фазе величина. Положим, что распределение гауссово:

где

Покажем, что при этих предположениях можно вычислить которые совместно с удовлетворяют уравнению Фоккера-Планка, а первый и второй моменты изменения энергии даются для выражениями

Поскольку независимые случайные переменные, то Усредняя по всем значениям находим, что изменение среднего значения равно нулю, в то время как для изменения второго момента приближенно имеем:

где подставлено значение из (5.157) и использовано равенство Заменяя на и учитывая, что

для больших перепишем (5.162) в дифференциальной форме

Решение этого уравнения дает стохастический нагрев

Покажем, что если задано уравнением (5.165), уравнением (5.160), то уравнение (5.158) удовлетворяется. Из (5.159), (5.160) и (5.162) определяем, что

и

В дальнейшем будем опускать нижний индекс Подставляя (5.166) (5.167) и (5.163) в уравнение Фоккера-Планка, имеем

Предполагая, что выполняя требуемые дифференцирования, определяем

что согласуется с результатом, вычисленным по формуле (5.165). Итак, предположение о том, что распределение является гауссовым, согласуется с тем, что рассматриваемый процесс — марковский.

Е принимает только положительные значения и, следовательно, мы должны предположить, что при происходит полное отражение, тогда сохраняется форма энергетического распределения [9]. В действительности это не так: отражающий барьер несколько размазан и имеет поглощение. Это в основном влияет на абсолютную плотность, не оказывая заметного воздействия на форму Имеют место следующие неравенства: 4

где максимальная поперечная энергия частицы, которая все еще лежит в конусе потерь; энергия, приобретенная при первом отражении; максимальное изменение энергии частицы при однократном отражении, причем

задано формулой (5.165). Неравенства следуют из предыдущих предположений и результатов.

Сравним полученные результаты, заключающиеся в том, что конечное распределение является гауссовым и имеет дисперсию, определяемую формулой (5.165) с экспериментом, тем самым мы проверим обоснованность предположения о том, что процесс — марковский. В эксперименте со сжатием пробок плазма инжектируется, захватывается с помощью ВЧ поля и нагревается мощным микроволновым импульсом, когда частота микроволны находится в резонансе с магнитным полем внутри ловушки [391. Зависимость интенсивности тормозного излучения электронов от квадрата энергии в полулогарифмическом масштабе дает прямую линию. Такая прямолинейная зависимость, несомненно, означает, что имеет место предсказанное гауссово -распределение в отличие от обычного максвеллова, имеющего место в экспериментах со сжатием. Найдено, что

а в предположении адиабатического сжатия при циклотронном резонансе при находим

Можно сравнить это значение электронной энергии с теоретическим. Типичное время усреднения между пересечениями области резонанса (см. рис. 5.23) равно и для магнитного поля сек. Измеренная эффективная длительность импульса равна сек. Это дает приближенное число сечений области резонанса Подставляя в (5.165) это значение величину электрического поля полученную приближенно из оценки мощности пика, и получаем по статистической теории

Теоретическое значение по сравнению с экспериментальным завышено приблизительно в четыре раза, что, вероятно, можно объяснить следующим: 1) оценка напряженности электрического поля в плазме завышена; 2) эффективное время нахождения в резонансной области уменьшено; 3) реальный процесс отклоняется от идеального марковского.