Симметричные полоидальные поля.

Для симметричных конфигураций важные сведения можно извлечь из первых интегралов движения, не получая точного решения как функцию времени. Рассмотрим нерелятивистский гамильтониан (5.51), вводя скорости и используя соотношение преобразуем гамильтониан к двумерному виду

Здесь мы выразили гамильтониан явно через начальные значения. Так как постоянно, всюду будем писать Потенциал

можно считать эквивалентным двумерным потенциалом, аналогичным потенциалу в задаче Кеплера, которая рассмотрена в § 1.1. Кинетическая энергия в -плоскости равна и всюду положительна, поэтому из (5.85) имеем

что дает пределы отклонения частицы. Для частиц, вращающихся вокруг оси в поле магнитного зеркала (однородное по возрастающее по ), пределы отклонения частиц легко найти. Для орбиты, симметричной относительно центра симметрии магнитного поля, простейшее доказательство следует непосредственно из постоянства из которого имеем

где использовано, что в симметричном поле, однородном по Подставив имеем Таким образом, получаем

или

Из (5.88) видно, что уменьшается с ростом а из (5-89) следует, что при этом должно увеличиваться, что приведет к отражению при Следуя Шмидту [52], можно обобщить этот результат и на неаксиально-симметричные орбиты. Для частиц, удерживаемых в радиальном направлении, должна существовать потенциальная яма по внутри которой частицы осциллируют. Частица может выйти из области удержания, когда минимально, и поэтому, чтобы гарантировать захват частицы, минимальный потенциал должен быть больше Дифференцируя по находим условие минимума

Уравнение (5.90) удовлетворяется либо когда

либо при

Первый случай соответствует Здесь поэтому условие (5.87) для может не выполняться. Во втором случае получим

где удовлетворяет условию (5.92). В этом случае является достаточным условием для захвата. Условие (5.91) удовлетворяется только для частиц, не охватывающих ось, тогда как условие (5.92) — обобщение результата, полученного для аксиально-симметричных орбит, — удовлетворяется для частиц, - охватывающих ось. Это общее ограничение на отклонение частиц порождает «запрещенную» область, которая не зависит от скорости изменения поля, а зависит только от сохранения углового момента.

Для частиц, которые вследствие общих законов сохранения не удерживаются, орбиты все же могут быть ограниченными, если движение адиабатическое, т. е. если удовлетворяется условие (5.1). Мы видели в § 5.1, что адиабатическое постоянство магнитного момента может приводить к удержанию частиц в определенных полях; в § 5.2 проблема диполя исследована с учетом этого факта. Для симметричных полей, рассматриваемых здесь, годится тот же анализ, что и в § 5.1, так что уравнение для постоянства кинетической энергии вместе с соотношением между магнитным моментом и поперечной кинетической энергией [см. уравнение (5.11)] дает

Для всех орбит, которые могут проникать в область с достаточно высоким значением поля так что частицы отражаются. Если обозначим это поле а поле в центре симметричной ловушки с магнитными пробками то (5.94) в точке поворота принимает вид

Определяя пробочное отношение как а угол соотношение (5.95) после перегруппировки членовимеет вид или после подстановки в правую часть уравнения

Таким образом, все частицы с начальными углами большими , отражаются прежде, чем достигается максимум Все частицы с при оказываются в конусе потерь в пространстве скоростей и уходят из области удержания. Как мы видели в § 5.2, в дипольном поле существуют аналогичные области захвата и конусы потерь. Приближенные орбиты в симметричной ловушке с магнитными пробками исследуем в § 5.3.

В поле типа каспа существуют как адиабатические, так и неадиабатические орбиты. Рассмотрим касп, имеющий вращательную симметрию (см. рис. 5.9, а). В зависимости от энергии частицы, ее углового момента и радиуса силовой линии, охватываемой частицей, орбиты могут быть адиабатическими, оставаясь все время на магнитной поверхности, или неадиабатическими (как представленные на рисунке орбиты). Адиабатические орбиты имеют место, когда постоянны, эти орбиты аналогичны орбитам с большой кривизной, которые были рассмотрены в гл. 2 при изучении диполя. Для неадиабатических орбит все же можно получить некоторую информацию о движении частиц. Например, в средней плоскости и минимальное расстояние частицы от оси определяется из

Кроме того, для частицы, движущейся вдоль силовой линии с

После того как частица пересечет среднюю плоскость, меняет знак, остается положительным, поэтому характер орбиты изменяется: частица вращается не вокруг силовой линии, а вокруг оси. Это явление экспериментально обнаружили Синнис и Шмидт [57]. Максимальное проникновение по z наблюдается, когда (относительно ) в точности равно начальной энергии так что из (5.93) получим

где определяется, как и прежде, из (5.92). Можно также найти критическую скорость для частицы, траектория которой пронизывает всю область каспа, причем она покидает касп, если попадает в равное и противоположное положение на дальней стороне каспа. Положим, что начальное поле, заданное уравнением (5.98), однородно, так что

Подставляя (5.100) в (5.99), получаем или

для частицы, пересекающей . Используя (5.92), найдем, что где радиус инжекции.

Для частицы с произвольно выбранными внутри каспа начальными координатой и скоростью трудно предсказать детальное движение. Однако если частица исследуется в центральной области каспа, то не сохраняется и вероятно, мало. В этом случае частица уйдет из каспа после достаточного числа прохождений

центральной области. Бринкман [8] вычислил на ЭВМ такие орбиты (рис. 5.9, а), изменение В и магнитный момент (рис. 5.9, б). Магнитный момент заметно изменяется в области слабого поля. Центральная область поэтому действует как рассеивающий центр, который позволяет частицам входить в конус потерь.

Если плотность частиц внутри каспа конечна, то анализ движения отдельной частицы не дает полного представления о поведении ллазмы. Более того, для малых плотностей коллективные эффекты делают плазму неустойчивой внутрь, так что частицы, которые являются адиабатически захваченными по одночастичной теории, движутся внутрь области слабого поля — области неадиабатических потерь частиц. Для больших плотностей плазма вытесняет магнитное поле из центральной области и фактические потери частиц определяются эффектами экранировки. Анализ коллективных эффектов не является целью этой книги. Описание этого явления дано в книге [2].