§ 3.6. Связь между степенями свободы

Типы связей.

Применяя теорему Лиувилля к одной степени свободы, мы считали, что движение, соответствующее этой степени свободы, не зависит от движения, соответствующего другим степеням свободы. В большинстве предыдущих параграфов этой главы мы в действительности неявно предполагали независимость колебаний по каждой степени свободы, записывая уравнения движения для каждой координаты в отдельности. Можно различать три типа связей, которые существенны для движения пучков частиц: 1) связь движений по отдельным степеням свободы вследствие нелинейности в уравнениях движения; 2) мнимая связь, обусловленная неудачным выбором системы координат; 3) связь, обусловленная влиянием границ.

Первый тип связи частично рассмотрен в § 1.1 и 2.4. Более полный разбор включает явное представление нелинейных членов. Эта связь более полно рассмотрена на конкретных примерах в гл. 4 и 5.

Второй тип связи нуждается в пояснении. В § 3.2 рассмотрено линейное преобразование вида Теоретически возможно диагонализировать матрицу путем нахождения собственных векторов системы

однако часто бывает удобно сохранять х как функцию естественных координат и импульсов системы; например, система, разделяющая частицы по скоростям (такая система описана ниже), представляется преобразованием вида

В этом представлении продольное и поперечное фазовые пространства связаны через элементы ты и Отклонение скорости влияет на поперечные координаты в первом порядке, однако других связей нет.

Третий тип связи обусловлен апертурными ограничениями, которые описываются нелинейными членами в уравнениях движения. Для прямоугольной границы эти ограничения можно выразить при помощи условий в форме

Здесь рассматриваются колебания около центральной линии камеры с размерами Прямоугольная камера не связывает колебания, соответствующие двум поперечным степеням свободы. Для эллиптической апертуры граничные условия будут

а для апертуры гиперболической формы, применяемой в квадрупольных линзах,

Последние нелинейности связывают уравнения посредством введения ограничения на размах колебания по одной степени свободы, который зависит от амплитуды колебания по другой степени свободы. В следующем разделе мы также рассмотрим влияние границ в сепараторе по скоростям.

Даже если уравнения движения связывают степени свободы, нельзя произвольным образом преобразовывать фазовые пространства, соответствующие этим степеням свободы. Так же как теорема

Лиувилля накладывает связи на полное фазовое пространство, точно так же имеется иерархия интегральных инвариантов (см. § 1.2), которая дает связей для системы с степенями свободы. Как мы видели в § 2.4, для специального случая многопериодной системы могут быть точных или адиабатических констант движения, которые изолируют движения по каждой из степеней свободы. В общем, связи сужают класс преобразований фазового пространства. Для линейных систем условия более жесткие, которые дают связей. Эти условия хорошо известны в теории групп (см. [3]) как симплектические условия. Таким образом, если решение как функция времени имеет вид

то симплектическое условие означает, что матрица удовлетворяет уравнению

где транспонированная по отношению к матрица и

Уравнение (3.114) легко доказать для одномерного осциллятора, используя результат (1.110), означающий, что определитель Вронского

Последнее эквивалентно выражению

где а индексы 1 и 2 соответствуют двум независимым решениям. Для матрицы преобразования имеем

и, применяя (3.115), видим, что уравнение (3.114) удовлетворяется. В двумерном случае имеется только одна связь, а симплектическое условие эквивалентно теореме Лиувилля.

Влияние связей на ограничения преобразований фазового пространства полностью еще не исследовано. Например, хорошо известно, что симплектическое условие требует, чтобы собственные значения преобразования были взаимными или комплексно-сопряженными парами (для двух измерений), как мы уже видели в § 1.4. Этот результат использовали Курант и Снайдер [3] для исследования связи радиальных и вертикальных колебаний в синхротроне. Связи также ограничивают преобразование фазового

пространства от одной степени свободы к другой. Однако нужно заметить, что связь, обусловленная влиянием границ, не является гамильтоновой и поэтому не подчиняется ограничениям.