Движение в удерживающих полях без азимутальной симметрии.

Из предыдущего обсуждения видно, что удерживающие поля без азимутальной симметрии занимают важное место среди различных типов удерживающих магнитных систем. Для асимметричных полей приближенные аналитические решения, найденные в предыдущем разделе, больше непригодны. Однако адиабатические интегралы все же полезны для упрощения описания движения частиц. В качестве примера использования адиабатических интегралов довольно подробно рассмотрим конфигурацию магнитного поля с минимумом В, состоящую из двух обмоток, создающих магнитные зеркала, и квадрупольной обмотки, состоящей из четырех проводников с противоположными направлениями токов, которая располагается под прямым углом к зеркальной обмотке. Эта конфигурация впервые была использована в эксперименте Готта, Иоффе и Тельковского [27]. Подробный анализ движения одиночной частицы был дан Сиамбисом [54]; будем следовать его методу и представим здесь некоторые основные полученные им результаты. На рис. 5.12 показана модель, иллюстрирующая конфигурацию трубки потока или потоковой поверхности такой системы вместе с совокупностью потоковых линий. Поверхность трубки потока закручивается вокруг квадрупольных стержней (стержни не показаны на рисунке). По мере уменьшения площади поперечного сечения поверхности постоянного потока величина магнитного поля должна увеличиваться, тем самым

обеспечивая отражение частиц, движущихся по спирали вдоль силовых линий. Кроме того, частицы совершают дрейф поперек силовых линий, однако они остаются на потоковой поверхности, поскольку, как показано в § 5.1, поток, охватываемый этой поверхностью, является интегралом движения.

Движение частицы с тремя степенями свободы сводится к движению ведущего центра усреднением по вращательному движению (см. § 5.1). Движение ведущего центра содержит магнитный момент в качестве параметра, и для адиабатически постоянного движение ведущего центра было сведено к двум степеням свободы. Число степеней свободы может быть еще уменьшено за счет введения продольной адиабатической константы

Рис. 5.12. Потоковая трубка для зеркального квадрупольного поля радиус квадрупольных стержней].

Для данного набора начальных условий вычислим непосредственно, а затем, интегрируя движение частицы по отдельной продольной орбите, получим выражение для

где траектория взята вдоль силовой линии, заданной выражениями

Интегрирование должно быть выполнено численно для полей с минимумом В. Величина вычисленная таким способом, является приближенной, так как интегрирование следовало бы выполнять по действительной орбите, в которой учитывается дрейф. Однако если дрейф мал за время, сравнимое с продольным периодом, оба результата почти совпадают (это было показано Сиамбисом). Не вычисляя непосредственно величину дрейфа, мы можем следить за размахом колебаний по всей потоковой трубке, требуя, чтобы аналогичные интегрирования по другим силовым линиям давали такие же

(кликните для просмотра скана)

значения Результаты вычислений Сиамбиса представлены на рис. 5.13 и 5.14. На рис. 5.13 показаны силовые линии и магнитные изобары; изобары относятся к тому значению при котором данная изобара является точкой поворота. Длины нормированы на радиус квадрупольных стержней, а магнитный момент нормирован на то значение для которого частица, близкая к оси, имеет точку поворота, лежащую на середине расстояния между центром и зеркалом. Показана зависимость точек поворота от радиуса для различных значений как в плоскости стержня, так и посередине между стержнями.

Рис. 5.14. Адиабатические кривые в средней плоскости для различных значений и среднего магнитного момента ; зеркальное квадрупольное поле:

Для заданного значения величина уменьшается с увеличением радиуса. Это можно увидеть на рис. 5.14, на котором изображен один квадрант поперечного сечения средней плоскости, взятый симметрично относительно квадрупольного стержня. Дрейфовое движение на кривой постоянного изменяется от кругового (при малом ) до прямоугольного, являющегося границей между областью удержания и областью, для которой частицы движутся вдоль силовых линий и выходят из объема удержания.

Для больших квадрупольных токов магнитные силовые линии искривляется сильнее и даже для больших значений (малые радиусы) поверхности постоянного потока сильно отличаются от круговых. Это происходит вследствие больших изменений азимутального поля, что вместе с большими дрейфовыми скоростями из-за сильной кривизны силовых линий может привести к неадиабатическому поведению. Мы увидим далее из численного расчета, что в случае большой азимутальной асимметрии адиабатическая

аппроксимация для не имеет места даже для относительно малых величин ларморовского радиуса.

Если мы хотим определить дрейфовое движение, то можно провести усреднение по продольному движению, с тем чтобы выразить дрейф непосредственно через две адиабатические константы

Рис. 5.15. (см. скан) Значеиия и X, при которых различные орбиты пересекают среднюю плоскость [25].

Поперечное смещение ведущего центра в течение одного периода продольного движения можно получить из дрейфовых уравнений (5.22) путем интегрирования по периоду:

Уравнение (5.129) трудно оценить непосредственно, однако (5.76) дает приближенную оценку.