Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами.

Более общий тип неавтономных систем — системы, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами.

Исследуем дифференциальное уравнение вида

Здесь считаются сейчас произвольными известными функциями Так как рассматриваемое уравнение (1.105) втсрсго порядка и линейно, общее решение может быть сконструировано в виде суммы двух линейно независимых решений При исследовании определителя Вронского может быть найдено важное свойство этого уравнения

Дифференцируя обе части по времени, получаем

где второй член равен нулю в силу равенства двух строк определителя. Подставляя вместо выражения из (1.105), имеем После сокращения остается Это соотношение можно проинтегрировать:

Из выражения (1.108) видно, что для консервативных систем, удовлетворяющих уравнению

т. е. имеем

Уравнение (1.110) остается в силе независимо от того, является ли периодической функцией или нет.

Решение любого дифференциального уравнения второго порядка независимо от того, является ли оно периодическим или нет, однозначно определяется начальными значениями функции, найденной из решения уравнения, и ее производными. Таким образом, для каждого из двух независимых решений можно написать преобразование от начального момента времени к любому другому моменту времени:

где коэффициенты зависят от времени, но не зависят от начальных координат. Следствием условия (1.110) является тот факт, что определитель, составленный из коэффициентов равен единице:

В этом можно убедиться, записав матрицу преобразования для двух решений следующим образом:

Рассматривая определитель этих матриц и пользуясь тем, что определитель двух матриц равен произведению определителей этих матриц, получаем преобразование определителя Вронского: и так как

Если теперь принять, что в дифференциальном уравнении то получим уравнение Хилла, решение которого удовлетворяет следующим преобразованиям:

из которых сразу получаем [см. (1.111)], что

Если теперь принять, что собственные функции линейной системы, т. е. те решения, для которых

где написаны как вектор х и коэффициенты в матричной форме

то видно, что собственные значения должны быть корнями уравнения

или

где третий член в как следует из (1.112); след матрицы, Решение для следующее:

Видим, что ЯДа — равняется действительному числу, решение можно также записать в следующем виде:

если положить

Поэтому решения устойчивы, если абсолютная величина следа

То, что собственные функции имеют вид (1.115) с действительными а для колебательных решений (устойчивых), эквивалентно постоянству площади фазового пространства, ограниченной траекторией осциллятора. Это исследовано в гл. 3 и 4. Уравнение Хилла с функцией в виде

используется во многих приложениях. Функция будучи подставлена в (1.109), дает уравнение Матье:

На рис. 1.8 показаны решения уравнения, полученные разложением в ряд, которые определяют области устойчивости (заштрихованы). Рассмотрим три отдельные области. Для (устойчивые решения в отсутствие неавтономного члена) и решения в основном устойчивы с областями неустойчивостей резонансного типа.

Для решения в основном неустойчивы с узкими полосами устойчивости. Для решения всегда неустойчивы. Эти результаты согласуются с предыдущими выводами, касающимися нелинейных автономных систем. Далее будет показано, что исследование на устойчивость слабо нелинейных уравнений может быть, сведено к известным характеристикам устойчивости уравнения Матье.

Теория периодических систем может быть применена к широкому кругу вопросов. С некоторыми приложениями, касающимися движения частиц, познакомимся далее при рассмотрении периодически фокусируемых пучков и в связи с изучением ускорителей со знакопеременным полем.

Рис. 1.8. Области устойчивости (заштрихованные) для уравнения Матье.

Основные уравнения также могут быть примене к теории распространения волн в периодических структурах. Подробно это рассмотрено Бриллюэном [7].