Подставляя 
из (2.92) и 
из (2.906), получаем
где 
как и раньше, — константа; 
константа, введенная в предыдущем разделе. Видим, что выражение (2.98) имеет вид, аналогичный (2.97). Вообще, можно выразить 
в первом порядке в форме
где может быть как периодической, так и медленно меняющейся со временем функцией. Функция 
играет важную роль в периодических системах, где ее обычно называют амплитудной функцией, поскольку она описывает вариации огибаюшей 
Подробнее эта функция рассмотрена в § 3.3 и 4.1 при обсуждении транспортировки пучков и периодической фокусировки в ускорителях.
В предыдущих параграфах мы получили асимптотические выражения для адиабатических инвариантов. Численные расчеты (см. следующий раздел), а также эксперименты указывают, что существуют точные инварианты, асимптотические приближения которых мы получили. Так, в (2.99) мы нашли для 
только асимптотическое выражение, однако следует предполагать, что существует ее точное значение. Если выражение (2.99) задано, то можно построить точный инвариант, несмотря на то что 
известно только асимптотически. Такой инвариант построен в § 4.1 с использованием результатов, полученных в § 3.3. Впервые он был получен Курантом и Снайдером [7]:
где 
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Точный инвариант играет важную роль в теории периодических, фокусирующих систем. Льюис [16] независимо получил соотношения (2.100) и (2.101). Кроме того, он показал, 
результаты независимо удовлетворяются для всех порядков асимптотического разложения Крускала.
В частности, 
есть полное решение движения как функция времени. В § 1.4 получено решение для нулевого порядка по 
или для ВКБ-приближения:
в форме, совершенно аналогичной (2.97), с той лишь разницей, что функция 
заменена более сложной функцией параметра разложения. Для решения первого порядка, которое приведено в предыдущем разделе, 
определяется из формулы (2.89):
